Question

【題目】已知,如圖A在x軸負半軸上，B（0，-4），點E（-6,4）在射線BA上，

(1) 求證：點A為BE的中點

(2) 在y軸正半軸上有一點F, 使 ∠FEA=45°，求點F的坐標.

(3) 如圖，點M、N分別在x軸正半軸、y軸正半軸上，MN=NB=MA，點I為△MON的內角平分線的交點，AI、BI分別交y軸正半軸、x軸正半軸于P、Q兩點, IH⊥ON于H, 記△POQ的周長為C△POQ.求證：C△POQ=2 HI.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）過E點作EG⊥x軸于G，根據B、E點的坐標，可證明△AEG≌△ABO，從而根據全等三角形的性質得證；

（2）過A作AD⊥AE交EF延長線于D，過D作DK⊥x軸于K，然后根據全等三角形的判定得到△AEG≌△DAK，進而求出D點的坐標，然后設F坐標為（0，y），根據S梯形EGKD=S梯形EGOF+S梯形FOKD可求出F的坐標；

（3）連接MI、NI，根據全等三角形的判定SAS證得△MIN≌△MIA，從而得到∠MIN=∠MIA和∠MIN=∠NIB，由角平分線的性質，求得∠AIB=135°×3-360°=45°再連接OI，作IS⊥OM于S, 再次證明△HIP≌△SIC和△QIP≌△QIC，得到C△POQ周長.

試題解析：（1）過E點作EG⊥x軸于G，

∵B（0，-4），E（-6,4），∴OB=EG=4，

在△AEG和△ABO中，

∵

∴△AEG≌△ABO（AAS），∴AE=AB

∴A為BE中點

（2）過A作AD⊥AE交EF延長線于D，

過D作DK⊥x軸于K，

∵∠FEA=45°，∴AE=AD，

∴可證△AEG≌△DAK，∴D（1,3），

設F（0，y），

∵S梯形EGKD=S梯形EGOF+S梯形FOKD，

∴

∴

∴

（3）連接MI、NI

∵I為△MON內角平分線交點，

∴NI平分∠MNO，MI平分∠OMN，

在△MIN和△MIA中，

∵

∴△MIN≌△MIA（SAS），

∴∠MIN=∠MIA，

同理可得∠MIN=∠NIB，

∵NI平分∠MNO，MI平分∠OMN，∠MON=90°，

∴∠MIN=135°∴∠MIN=∠MIA =∠NIB=135°，

∴∠AIB=135°×3-360°=45°，

連接OI，作IS⊥OM于S, ∵IH⊥ON，OI平分∠MON，

∴IH=IS=OH=OS，∠HIS=90°，∠HIP+∠QIS=45°，

在SM上截取SC=HP，可證△HIP≌△SIC，∴IP=IC，

∠HIP=∠SIC，∴∠QIC=45°，

可證△QIP≌△QIC，

∴PQ=QC=QS+HP，

∴C△POQ=OP+PQ+OQ=OP+PH+OQ+OS=OH+OS=2HI.