Question

【題目】如圖，點E是邊長為1的正方形ABCD的邊AB上任意一點（不含A，B），過B，C，E三點的圓與BD相交于點F，與CD相交于點G，與∠ABC的外角平分線相交于點H．

（1）求證：四邊形EFCH是正方形；
（2）設BE=x，△CFG的面積為y，求y與x的函數關系式，并求y的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵B、H、C、F、E在同一圓上，且∠EBC=90°

∴∠EFC=90°，∠EHC=90°，

又∵∠FBC=∠HBC=45°，

∴CF=CH，

∵∠HBF+∠HCF=180°，

∴∠HCF=90°，

∴四邊形EFCH是正方形

（2）解：∵∠BFG+∠BCG=180°，

∴∠BFG=90°，

由（1）知∠EFC=90°，

∴∠CFG+∠BFC=∠BFE+∠BFC，

∴∠CFG=∠BFE，

∴CG=BE=x，

∴DG=DC﹣CG=1﹣x，

易知△DFG是等腰直角三角形，

∴△CFG中CG邊上的高為 DG= （1﹣x），

∴y= x （1﹣x）=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴當x= 時，y有最大值

【解析】（1）利用圓內接四邊形性質，圓周角定理，須證三個角是直角，再證一組鄰邊相等可得出結論；（2）利用圓內接四邊形的性質可得CG=BE=x，△DFG是等腰直角三角形，利用“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”可得△CFG中CG邊上的高為 DG,列出二次函數關系式，配成頂點式求出最大值.