Question

【題目】如圖，△ABC中,∠C=90°，⊙I為△ABC的內切圓，點O為△ABC的外心，BC=6，AC=8．

（1）求⊙I的半徑；

（2）求線段OI的長．

Answer 1

【答案】(1)2;(2).

【解析】

（1）首先設⊙I的半徑為r，由△ABC中，∠C=90゜，BC=6，AC=8，可求得AB的長，又由S△ABC=ACBC=（AB+AC+BC）·r，即可求得答案；
（2）首先設⊙I與△ABC的三邊分別切于點D，E，F，連接ID，IE，IF，由切線長定理可求得BD的長，又由點O為△ABC的外心，可求得OB的長，即可求得OD的長，然后由勾股定理求得答案．

（1）設⊙I的半徑為r，

∵△ABC中，∠C=90゜，BC=6，AC=8，

∴AB==10，

∴S△ABC=ACBC=（AB+AC+BC）r，

∴r==2；

（2）設⊙I與△ABC的三邊分別切于點D，E，F，連接ID，IE，IF，

∴∠IEC=∠IFC=90°，

∵∠C=90°，

∴四邊形IECF是矩形，

∵IE=IF，

∴四邊形IECF是正方形，

∴CE=IE=2，

∴BD=BE=BC﹣CE=6﹣2=4，

∵點O為△ABC的外心，

∴AB是直徑，

∴OB=AB=5，

∴OD=OB﹣BD=5﹣4=1，

∴OI=．