Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5 ，∠C=30°．點D從點C出發沿CA方向以每秒2個單位長的速度向A點勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（t＞0）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF．

（1）AC的長是 ， AB的長是 ．
（2）在D、E的運動過程中，線段EF與AD的關系是否發生變化？若不變化，那么線段EF與AD是何關系，并給予證明；若變化，請說明理由．
（3）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，說明理由．
（4）當t為何值，△BEF的面積是2 ？

Answer 1

【答案】
（1）10；5
（2）

解：EF與AD平行且相等．

證明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，

∴DF=t．

又∵AE=t，

∴AE=DF，

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF．

∴四邊形AEFD為平行四邊形．

∴EF與AD平行且相等

（3）

解：能；

理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF．

又∵AE=DF，

∴四邊形AEFD為平行四邊形．

∵AB=BCtan30°=5 × =5，

∴AC=2AB=10．

∴AD=AC﹣DC=10﹣2t．

若使AEFD為菱形，則需AE=AD，

即t=10﹣2t，t= ．

即當t= 時，四邊形AEFD為菱形

（4）

解：∵在Rt△CDF中，∠A=30°，

∴DF= CD，

∴CF= t，

又∵BE=AB﹣AE=5﹣t，BF=BC﹣CF=5 ﹣ t，

∴ ，

即： ，

解得：t=3，t=7（不合題意舍去），

∴t=3．

故當t=3時，△BEF的面積為2 ．

故答案為：5，10；平行且相等； ；3

【解析】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=30°，
∴AC=2AB，
根據勾股定理得：AC2﹣AB2=BC2 ，
∴3AB2=75，
∴AB=5，AC=10；
在Rt△ABC中，∠C=30°，則AC=2AB，根據勾股定理得到AC和AB的值．（2）先證四邊形AEFD是平行四邊形，從而證得AD∥EF，并且AD=EF，在運動過程中關系不變．（3）求得四邊形AEFD為平行四邊形，若使AEFD為菱形則需要滿足的條件及求得．（4）BE=AB﹣AE=5﹣t，BF=BC﹣CF=5 ﹣ t，從而得到 ，然后求得t的值．
【考點精析】掌握含30度角的直角三角形和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．