Question

（本小題滿分7分）已知：等邊三角形ABC

（1）如圖1，P為等邊△ABC外一點，且∠BPC=120°．試猜想線段BP、PC、AP之間的數量關系,并證明你的猜想；

（2）如圖2，P為等邊△ABC內一點，且∠APD=120°．求證：PA+PD+PC＞BD

        

 

Answer 1

【答案】

猜想：AP=BP+PC                 ------------------------------1分

（1）證明：延長BP至E，使PE=PC，聯結CE

∵∠BPC=120°

∴∠CPE=60°，又PE=PC

∴△CPE為等邊三角形

∴CP=PE=CE，∠PCE=60°

∵△ABC為等邊三角形

∴AC=BC，∠BCA=60°

∴∠ACB=∠PCE，

∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP

即：∠ACP=∠BCE

∴△ACP≌△BCE

∴AP=BE      ------------------------------------------------------2分

∵BE=BP+PE

∴AP=BP+PC  ----------------------------------------------------- 3分

（2）方法一：

在AD外側作等邊△AB′D     --------------------------- 4分

則點P在三角形ADB′外

∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD

在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′， 

∴PA+PD+PC＞CB′      ------------------------------------ 5分

∵△AB′D、△ABC是等邊三角形

∴AC=AB，AB′=AD，

∠BAC=∠DA B′=60°

∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD

即：∠BAD=∠CAB′

∴△AB′C≌△ADB  

∴C B′=BD          ------------------------------------------------ 6分

∴PA+PD+PC＞BD    -------------------------------------------------- 7分

方法二：延長DP到M使PM=PA，聯結AM、BM

∵∠APD=120°，

∴△APM是等邊三角形， -----------------------------4分

∴AM=AP，∠PAM=60°

∴DM=PD+PA          ------------------------------5分

∵△ABC是等邊三角形

∴AB=AC，∠BAC=60°

∴△AMB≌△APC

∴BM=PC          -----------------------------------------------6分

在△BDM中，有DM + BM＞BD， 

∴PA+PD+PC＞BD      ----------------------------------------------7分

【解析】略