Question

（2012•江干區一模）如圖，在平面直角坐標系中，點P從原點O出發，沿x軸向右以每秒一個單位長的速度運動t秒（t＞0），拋物線y=-x²+bx+c經過點O和點P．
（1）求c，b（用t的代數式表示）；
（2）拋物線y=-x²+bx+c與直線x=1和x=5分別交于M，N兩點，當t＞1時，
①在點P的運動過程中，你認為sin∠MPO的大小是否會變化？若變化，說明理由；若不變，求出sin∠MPO的值；
②△MPN的面積S與t的函數關系式；
③是否存在這樣的t值，使得以O，M、N，P為頂點的四邊形為梯形？如果存在，求出t的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線y=-x²+bx+c經過點O和點P，將O（0，0），P（t，0），代入求出c，b的值即可；
（2）①根據（1）中解析式得出M（1，t-1），得出AM=AP，∠PAM=45°即可得出sin∠MPO的大小不會變化；
②根據當1＜t≤5時以及當t＞5時，分別得出S_△MPN=S_△APM+S_梯形ABNP-S_△MBN，S_△MPN=S_梯形MABN+S_△NBP-S_△APM，求出即可；
③根據當MP∥ON時以及當MN∥OP時，分別得出t的值即可．

解答：解：（1）由題意得O（0，0），P（t，0），
代入y=-x²+bx+c，
得c=0，
-t²+bt=0，
即b=t．
即y=-x²+tx．

（2）當t＞1時，①M（1，t-1），
即AM=t-1，AP=t-1，
即AM=AP，∠PAM=45°，sin∠MPO=sin45°=

2

2

是定值．
②當1＜t≤5時，N（5，5t-25），
如圖1，

過點N作AM的垂線，垂足為B，
S_△MPN=S_△APM+S_梯形ABNP-S_△MBN，
=

1

2

（t-1）²+

1

2

（t-1+4）×（25-5t）-

1

2

（t-1-5t+25）×4，
=-2t²+12t-10，
當t＞5時，如圖2，


S_△MPN=S_梯形MABN+S_△NBP-S_△APM，
=

1

2

（t-1+5t-25）×4+

1

2

（5t-25）（t-5）-

1

2

（t-1）²，
=2t²-12t+10，

③存在這樣的t值，使得以O、M、N、P為頂點的四邊形為梯形．
當MP∥ON時，如圖3，

∵∠OPM=45°，∴∠PON=45°，
即N（5，-5），代入y=-x²+tx得-25+5t=-5．
解得t=4；
當MN∥OP時，如圖4，

則M，N關于對稱軸x=3對稱，
即-

t

2×(-1)

=3，
解得：t=6．
綜上，當t=4或t=6時，以O、M、N、P為頂點的四邊形為梯形．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及梯形的判定和圖形面積求法，正確利用數形結合進行分類討論得出是解題關鍵．