Question

（2011•黔西南州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點O是BC上一點，以點O圓心，OC為半徑的圓交BC于點D，恰好與AB相切于點E．
（1）求證：AO是∠BAC的平分線；
（2）若BD=1cm，BE=3cm，求sinB及AC的長．

Answer 1

分析：（1）由∠ACB=90°，且OC為圓O的半徑，判斷得到AC與圓O相切，又AB與圓O相切，根據切線長定理得到AO為∠BAC的平分線，且AE=AC；
（2）由BE為圓O的切線，BC為圓O的割線，利用切割線定理列出關系式，將BD及BE的長代入，求出BC的長，用BC-BD求出直徑CD的長，進而確定出圓O的半徑，由OD+BD求出OB的長，連接OE，由切線的性質得到OE垂直于BE，在直角三角形OEB中，利用銳角三角函數定義求出sinB的值，同時由OB及OE的長，利用勾股定理求出BE的長，由∠ACB=90°，OC為圓O的半徑，可得出AC為圓O的切線，由AE與AC都為圓的切線，根據切線長定理得到AE=AC，設AC=AE=xcm，由AE+EB表示出AB，再由BC及AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為AC的長．

解答：解：（1）∵∠OCA=90°，OC為圓O的半徑，
∴AC為圓O的切線，又AB與圓O相切，E為切點，
∴AE=AC，AO平分∠BAC；

（2）∵BE為圓O的切線，BC為圓O的割線，
∴BE²=BD•BC=BD（BD+DC），又BD=1cm，BE=3cm，
∴3²=1+DC，即DC=8cm，
∴OE=OD=4cm，
連接OE，由BE為圓O的切線，得到OE⊥EB，
在直角三角形BEO中，OE=4cm，OB=BD+OD=1+4=5cm，
∴sinB=

OE

OB

=

4

5

，BE=

OB2-OE2

=3cm，
在直角三角形ABC中，設AE=AC=xcm，則AB=AE+EB=（x+3）cm，
BC=BD+DC=9cm，
根據勾股定理得：AB²=AC²+BC²，即（x+3）²=x²+9²，
解得：x=12，
則AC=12cm．

點評：此題考查了切線的性質，切線長定理，切割線定理，勾股定理，以及銳角三角函數定義，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．