Question

請閱讀下列材料：
已知：如圖1在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E分別為線段BC上兩動點，若∠DAE=45度．探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數量關系．
小明的思路是：把△AEC繞點A順時針旋轉90°，得到△ABE′，連接E′D，使問題得到解決．請你參考小明的思路探究并解決下列問題：
（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數量關系式，并對你的猜想給予證明；
（2）當動點E在線段BC上，動點D運動在線段CB延長線上時，如圖2，其它條件不變，（1）中探究的結論是否發生改變？請說明你的猜想并給予證明．

Answer 1

（1）猜想：DE²=BD²+EC²，
證明：根據△AEC繞點A順時針旋轉90°得到△ABE′，
∴△AEC≌△ABE′，
∴BE′=EC，AE′=AE，
∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，
在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABC+∠ABE′=90°，
即∠E′BD=90°，
∴E′B²+BD²=E′D²，
又∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°，
∴∠E′AB+∠BAD=45°，
即∠E′AD=45°，
∴△AE′D≌△AED，
∴DE=DE′，
∴DE²=BD²+EC²．

（2）結論：關系式DE²=BD²+EC²仍然成立．
證明：作∠FAD=∠BAD，且截取AF=AB，連接DF，連接FE，
∴△AFD≌△ABD，
∴AF=AB，FD=DB，
∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，
又∵AB=AC，
∴AF=AC，
∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，
∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB）=45°+∠DAB，
∴∠FAE=∠EAC，
又∵AE=AE，
∴△AFE≌△ACE，
∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，
∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°，
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°，
∴在Rt△DFE中，
DF²+FE²=DE²，
即DE²=BD²+EC²．
分析：（1）根據△AEC繞點A順時針旋轉90°得到△ABE’根據旋轉的性質，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根據Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E′BD=90°所以E′B²+BD²=E′D²，證△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE²=BD²+EC²；
（2）關系式DE²=BD²+EC²仍然成立，可類比（1）的證明方法求證即可．
點評：本題考查旋轉的知識，三角形全等的判定方法和性質已經等邊三角形的性質．判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．利用全等來證明相等的線段是常用的方法之一．