Question

我們把對稱中心重合，四邊分別平行的兩個正方形之間的部分叫“方形環”，易知方形環四周的寬度相等．一條直線l與方形環的邊線有四個交點M、M′、N′、N、小明在探究線段MM′與N′N的數量關系時，從點M′、N′向對邊作垂線段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及銳角三角函數等相關知識解決了問題、請你參考小明的思路解答下列問題：
（1）當直線l與方形環的對邊相交時（如圖1），直線l分別交AD、A′D'、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明發現MM′與N′N相等，請你幫他說明理由；
（2）當直線l與方形環的鄰邊相交時（如圖2），l分別交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l與DC的夾角為α，你認為MM′與N′N還相等嗎？若相等，說明理由；若不相等，求出

MM′

N′N

的值（用含α的三角函數表示）．

Answer 1

分析：（1）證線段相等，可證線段所在的三角形全等．結合本題，證△MM′E≌△NN′F即可；
（2）由于M′E∥CD，則∠EM′M=∠FNN′=α，易證得△FNN′∽△EM′M，那么MM′：NN′=EM′：FN；而EM′=FN′，則比例式可化為：

MM′

NN′

=

FN′

FN

=tanα，由此可知：當α=45°時，MM′=NN′；當α≠45°時，MM′≠NN′．

解答：（1）解：在方形環中，
∵M'E⊥AD，N'F⊥BC，AD∥BC，
∴M'E=N'F，∠M'EM=∠N'FN=90°，∠EMM'=∠N'NF，
∴△MM'E≌△NN'F．
∴MM'=N'N；（5分）

（2）解法一：∵∠NFN'=∠MEM'=90°，∠FNN'=∠EM'M=α，
∴△NFN'∽△M'EM．                                          （8分）
∴

MM′

N′N

=

M′E

NF

．
∵M'E=N'F，
∴

MM′

N′N

=

N′F

NF

=tanα（或

sinα

cosα

）．                           （10分）
①當α=45°時，tanα=1，則MM′=NN′；
②當α≠45°時，MM′≠NN′，
則

MM′

NN′

=tanα（或

sinα

cosα

）．                                 （12分）
解法二：在方形環中，∠D=90°，
又∵M′E⊥AD，N′F⊥CD，
∴M′E∥DC，N′F=M′E．
∴∠MM′E=∠N′NF=α．
在Rt△NN′F與Rt△MM′E中，
sinα=

N′F

NN′

，cosα=

M′E

MM′

tanα=

sinα

cosα

=

N′F

NN′

•

MM′

M′E

=

MM′

NN′

，
即

MM′

NN′

=tanα（或

sinα

cosα

）．                                   （10分）
①當α=45°時，MM′=NN′；
②當α≠45°時，MM′≠NN′，則

MM′

NN′

=tanα（或

sinα

cosα

）．          （12分）

點評：此題主要考查了相似三角形、全等三角形的判定和性質以及解直角三角形的應用等知識．