Question

某班為了從甲、乙兩同學中選出班長，進行了一次演講答辯與民主測評．A、B、C、D、E五位老師作為評委，對“演講答辯”情況進行評價，全班50位同學參與了民主測評．結果如下表所示：
表1 演講答辯得分表（單位：分）

	A	B	C	D	E
甲	90	92	94	95	88
乙	89	86	87	94	91

表2  民主測評票數統計表（單位：張）

	“好”票數	“較好”票數	“一般”票數
甲	40	7	3
乙	42	4	4

規定：演講答辯得分按“去掉一個最高分和一個最低分再算平均分”的方法確定；
民主測評得分=“好”票數×2分+“較好”票數×1分+“一般”票數×0分；
綜合得分=演講答辯得分×（1-a）+民主測評得分×a（0.5≤a≤0.8）．
（1）當a=0.6時，甲的綜合得分是多少？
（2）a在什么范圍時，甲的綜合得分高？a在什么范圍時，乙的綜合得分高？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知：分別計算出甲的演講答辯得分以及甲的民主測評得分，再將a=0.6代入公式計算可以求得甲的綜合得分；
（2）同（1）一樣先計算出乙的演講答辯得分以及乙的民主測評得分，則乙的綜合得分=89（1-a）+88a，甲的綜合得分=92（1-a）+87a，再分別比較甲乙的綜合得分，甲的綜合得分高時即當甲的綜合得分＞乙的綜合得分時，可以求得a的取值范圍；同理甲的綜合得分高時即當甲的綜合得分＜乙的綜合得分時，可以求得a的取值范圍．
解答：解：（1）甲的演講答辯得分=（分），
甲的民主測評得分=40×2+7×1+3×0=87（分），
當a=0.6時，甲的綜合得分=92（1-0.6）+87×0.6=36.8+52.2=89（分）；

（2）∵乙的演講答辯得分=（分）
乙的民主測評得分=42×2+4×1+4×0=88（分）∴甲的綜合得分=92（1-a）+87a
當a=0.6時乙的綜合得分=89（1-a）+88a．
當92（1-a）+87a＞89（1-a）+88a時，即有
又0.5≤a≤0.8
∴0.5≤a＜0.75時，甲的綜合得分高．
當92（1-a）+87a＜89（1-a）+88a時，即有
又0.5≤a≤0.8
∴0.75＜a≤0.8時，乙的綜合得分高．
點評：本題考查的是平均數的求法．同時還考查了解不等式，本題求a的范圍時要注意“0.5≤a≤0.8”這個條件．