Question

如圖，⊙P與軸相切于坐標原點O（0，0），與軸相交于點A（5，0），過點A的直線AB與軸的正半軸交于點B，與⊙P交于點C．
（1）已知AC=3，求點Ｂ的坐標；                 
（2）若AC=, D是OＢ的中點．問：點O、P、C、D四點是否在同一圓上？請說明理由．如果這四點在同
一圓上，記這個圓的圓心為，函數的圖象經過點，求的值（用含的代數式表示）．                 
  

Answer 1

（1）解法一：連接OC，∵OA是⊙P的直徑，∴OC⊥AB，
在Rt△AOC中，，
在 Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO=∠OAB
∴Rt△AOC∽Rt△ABO，
∴，即，
∴ ，  ∴
解法二：連接OC，因為OA是⊙P的直徑， ∴∠ACO=90°
在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，∴OC=4，
過C作CE⊥OA于點E，則：，

即：，∴，
∴  ∴，
設經過A、C兩點的直線解析式為：．
把點A（5，0）、代入上式得：
 ，   解得：，
∴ ，  ∴點 ．4分
（2）點O、P、C、D四點在同一個圓上，理由如下：
連接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D為OB上的中點，                           ∴，
∴∠3=∠4，又∵OP=CP，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴PC ⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD為斜邊的直角三角形，∴PD上的中點到點O、P、C、D四點的距離相等，
∴點O、P、C、D在以DP為直徑的同一個圓上；    ···········6分
由上可知，經過點O、P、C、D的圓心是DP的中點，圓心，
由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴，求得：AB=，在Rt△ABO中，
，OD=，
∴，點在函數的圖象上，
∴，     ∴．

（1）此題有兩種解法：
解法一：連接OC，根據OA是⊙P的直徑，可得OC⊥AB，利用勾股定理求得OC，再求證Rt△AOC∽Rt△ABO，利用其對應變成比例求得OB即可；
解法二：連接OC，根據OA是⊙P的直徑，可得∠ACO=90°，利用勾股定理求得OC，過C作CE⊥OA于點E，分別求得CE、0E，設經過A、C兩點的直線解析式為：y=kx+b．把點A（5，0）、代入上式解得即可．
（2）連接CP、CD、DP，根據OC⊥AB，D為OB上的中點，可得，求證Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD為斜邊的直角三角形，可得PD上的中點到點O、P、C、D四點的距離相等，由上可知，經過點O、P、C、D的圓心O₁是DP的中點，圓心，由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，可得，求得：AB、OD即可．