Question

【題目】正方形ABCD的邊長是4，點P是AD邊的中點，點E是正方形邊上的一點，若△PBE是等腰三角形，則腰長為________．

Answer 1

【答案】2或或

【解析】分情況討論：

(1)當PB為腰時，若P為頂點，則E點與C點重合，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°，

∵P是AD的中點，

∴AP=DP=2，

根據勾股定理得：BP===；

若B為頂點，則根據PB=BE′得，E′為CD中點，此時腰長PB=；

(2)當PB為底邊時，E在BP的垂直平分線上，與正方形的邊交于兩點，即為點E；

①當E在AB上時，如圖2所示：

則BM=BP=，

∵∠BME=∠A=90°，∠MEB=∠ABP，

∴△BME∽△BAP，

∴，即，

∴BE=；

②當E在CD上時，如圖3所示：

設CE=x，則DE=4x，

根據勾股定理得：BE2=BC2+CE2，PE2=DP2+DE2，

∴42+x2=22+(4x)2，

解得：x=，

∴CE=，

∴BE= ==；

綜上所述：腰長為： ，或，或；

故答案為： ，或，或.