Question

如圖，Rt△ABC的兩條直角邊AC=3，BC=4，點P是邊BC上的一動點（P不與B重合），以P為圓心作⊙P與BA相切于點M．設CP=x，⊙P的半徑為y．
（1）求證：△BPM∽△BAC；
（2）求y與x的函數關系式，并確定當x在什么范圍內取值時，⊙P與AC所在直線相離；
（3）當點P從點C向點B移動時，是否存在這樣的⊙P，使得它與△ABC的外接圓相內切？若存在，求出x、y的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由∠B=∠B，∠C=∠BMP=90°證明；
（2）勾股定理求出AB的長，相似三角形求出y與x的函數關系式，求出取值范圍；
（3）根據內切圓的特點，求出x，y的值．

解答：（1）證明：∵AB切⊙P于點M，
∴∠PMB=∠C=90°．
又∵∠B=∠B，
∴△BPM∽△BAC．

（2）解：∵AC=3，BC=4，∠C=90°，
∴AB=5．
∵

BP

BA

=

PM

AC

，
∴

4-x

5

=

y

3

，
∴y=-

3

5

x+

12

5

（0≤x＜4）．
當x＞y時，⊙P與AC所在的直線相離．
即x＞-

3

5

x+

12

5

，
得x＞

3

2

，
∴當

3

2

＜x＜4時，⊙P與AC所在的直線相離．

（3）解：設存在符合條件的⊙P．
得OP=2.5-y，而BM=

4

3

y，
∴OM=2.5-

4

3

y，
有(2.5-

4

3

y)2+y2=(2.5-y)2，
得

16

9

y2-

5

3

y=0
∴y₁=0（不合題意舍去），y₂=

15

16

．
∴y=

15

16

時，x=

39

16

．

點評：本題涉及的知識點較多，綜合考查了相似三角形的應用和待定系數法求一次函數解析式．