Question

已知：如圖，正△ABC的邊長為a，D為AC邊上的一個動點，延長AB至E，使BE=CD，連接DE，交BC于點P．
（1）求證：DP=PE；
（2）若D為AC的中點，求BP的長．

Answer 1

分析：（1）過點D作DF∥AB，構造三角形全等，可證得△CDF為等邊三角形，得到DF=BE，可由AAS證得△DFP≌△EBP?DP=EP；
（2）若D為AC的中點，則DF是△ABC的中位線，有BF=

1

2

BC=

1

2

a，點P是BF的中點，得到BP=

1

2

BF=

1

4

a．

解答：（1）證明：過點D作DF∥AB，交BC于F．
∵△ABC為正三角形，
∴∠CDF=∠A=60°．
∴△CDF為正三角形．
∴DF=CD．
又BE=CD，
∴BE=DF．
又DF∥AB，
∴∠PEB=∠PDF．
∵在△DFP和△EBP中，
∵

∠BPE=∠FPD ∠PEB=∠PDF BE=FD

，
∴△DFP≌△EBP（AAS）．
∴DP=PE．

（2）解：由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．
∵D為AC中點，DF∥AB，
∴BF=

1

2

BC=

1

2

a．
∴BP=

1

2

BF=

1

4

a．

點評：本題利用了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質求解．