Question

已知如圖拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)）與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．
（1）求出A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）判斷△AOC與△BCD是否相似，并說明理由；
（3）過C作直線CE平行x軸交拋物線另一個(gè)交點(diǎn)為E，動(dòng)點(diǎn)F從C點(diǎn)開始，以每秒

2

個(gè)單位的速度沿CF方向在射線CE上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)G從B點(diǎn)開始以每秒4個(gè)單位速度沿BC方向在射線BC上運(yùn)動(dòng)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)F、G同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，問在拋物線上是否存在點(diǎn)H；使以C、G、H、F四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出相應(yīng)t的值和H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線的解析式中，令y=0，可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，令x=0，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)已知的A、B、C、D的坐標(biāo)，可求得兩個(gè)三角形各自的三邊長，然后證△BCD、△AOC的對應(yīng)邊成比例即可．
（3）此題可先求出滿足以C、F、H、G四點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的H點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可．
分別過C、F、G作FG、CG、CF的平行線，那么這些平行線的交點(diǎn)即為所求的H點(diǎn)，設(shè)為H₁、H₂、H₃，過G作GN⊥x軸于N，由于∠OBC=45°，即可根據(jù)BG的長表示出GN、BN的值，而CP的長易求得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)（兩組對邊平行且相等），即可得到H₁、H₂的坐標(biāo)，然后將它們代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可，若所得方程有解，則所得的解即為符合條件的H點(diǎn)坐標(biāo)，若無解，則是說明不存在符合條件的H點(diǎn)．H₃的坐標(biāo)求法同上．

解答：解：（1）令y=0，即x²-2x-3=0，則x=3，x=-1，
∴A（-1，0），B（3，0）；
令x=0，即y=-3，
∴C（0，-3）；
由于y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
故頂點(diǎn)D（1，-4）．

（2）相似，理由如下：
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），
∴OA=1，OC=3，AC=

10

；
CD=

2

，BC=3

2

，BD=2

5

；
∴

CD

OA

=

BC

OC

=

BD

AC

=

2

，
故△AOC∽△DCB．

（3）分別過C、F、G作FG、CG、CF的平行線，三線交于H₁、H₂、H₃（如圖）；
則四邊形CFGH₁、四邊形CFH₂G、四邊形H₃FGC都是平行四邊形；
過G作GM⊥x軸于M；
由于OB=OC=3，則∠OBC=45°；
易知BG=4t，則BM=MG=2

2

t，OM=3-2

2

t；
故G（3-2

2

t，-2

2

t）；
由于四邊形CFGH₁、四邊形CFH₂G都是平行四邊形，
故H₁G=GH₂=CF=

2

t，
∴H₁（3-3

2

t，-2

2

t），H₂（3-

2

t，-2

2

t）；
把H₁代入拋物線的解析式中得：
（3-3

2

t）²-2（3-3

2

t）-3=-2

2

t，
即9t²-5

2

t=0；
解得t=0（舍去），t=

5 2

9

；
當(dāng)t=

5 2

9

時(shí)，H₁（-

1

3

，-

20

9

）；
把H₂代入拋物線的解析式中得：
（3-

2

t）²-2（3-

2

t）-3=-2

2

t，
即t²-

2

t=0；
解得t=0（舍去），t=

2

；
當(dāng)t=

2

時(shí)，H₂（1，-4）；
過G作GP⊥y軸于P，過H₃作H₃Q⊥y軸于Q；
則有H₃Q=GP-CF=3-2

2

t-

2

t=3-3

2

t，CQ=CP=3-2

2

t；
∴OQ=OC+CQ=6-2

2

t；
∴H₃（3

2

t-3，2

2

t-6）；
將H₃代入拋物線的解析式中，有：
（3

2

t-3）²-2（3

2

t-3）-3=2

2

t-6，
即9t²-13

2

t+9=0，
解得t=

13 2 ± 14

18

；
當(dāng)t=

13 2 + 14

18

時(shí)，H₃（

4+ 7

3

，

2 7 -28

9

）；
當(dāng)t=

13 2 - 14

18

時(shí)，H₄（

4- 7

3

，

-2 7 -28

9

）．
故存在符合條件的H點(diǎn)，且：
當(dāng)t=

5 2

9

時(shí)，H₁（-

1

3

，-

20

9

）；
當(dāng)t=

2

時(shí)，H₂（1，-4）；
當(dāng)t=

13 2 + 14

18

時(shí)，H₃（

4+ 7

3

，

2 7 -28

9

）；
當(dāng)t=

13 2 - 14

18

時(shí)，H₄（

4- 7

3

，

-2 7 -28

9

）．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定等重要知識，綜合性強(qiáng)，難度較大．在涉及動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，一般要考慮分類討論思想的運(yùn)用．