Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（﹣3，0），（0，6）．動點P從點O出發，沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，同時動點C從B出發，沿射線BO方向以每秒2個單位的速度運動，以CP，CO為鄰邊構造平行四邊形PCOD，在線段OP延長線上取點E，使PE=AO，設點P運動的時間為t秒．

（1）直接寫出當點C運動到線段OB的中點時，求t的值及點E的坐標．

（2）當點C在線段OB上運動時，四邊形ADEC的面積為S．

①求證：四邊形ADEC為平行四邊形．

②寫出s與t的函數關系式，并求出t的取值范圍．

（3）是否存在某一時刻，使OC是PC的一半？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=，E（，0）；（2）①證明見解析；②s=36﹣6t﹣2t2（ 0＜t＜3 ）；（3）存在，，或．

【解析】

（1）根據B的坐標（0，6）可得OB=6，再由BC=OB，即可得BC=3，從而求出時間t，根據OE=OP+PE求出點E的坐標；

（2）①連接CD交OP于點G，根據平行四邊形的對角線互相平分的性質可得CG=DG，OG=PG，又因PE=AO，可得AG=EG，再根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可得四邊形ADEC為平行四邊形．；

②根據平行四邊形的性質可得，用t表示出AE、OC的長，代入即可得s與t的函數關系式，再根據點C移動的距離和速度求出t的取值范圍；

（3）在Rt△COP中，由已知OC是PC的一半，即可得∠CPO=30°，分兩種情況，①點C在線段OB上，②點C在線段OB延長線上，在Rt△COP中，利用求解即可．

解：（1）∵B（0，6），∴OB=6，

點C運動到線段OB的中點時，BC=3，∴t=，

則OP=，OE=OP+PE=OP+OA=，

∴E（，0）；

（2）①如圖1，連接CD交OP于點G，

在平行四邊形PCOD中，CG=DG，OG=PG，

∵AO=PE，

∴AG=EG，

∴四邊形ADEC是平行四邊形；

②∵AE=t+6，OC=6﹣2t，

∴s=×AE×OC×2=（t+6）×（6﹣2t）

=36﹣6t﹣2t2（ 0＜t＜3 ）

（3）如圖2，當點C在線段OB上時，OC=PC，則∠CPO=30°，

，

即，解得，，

如圖3，當點C在線段OB延長線上時，

，解得，．