Question

【題目】（1）如圖1，正方形ABCD和正方形DEFG，G在AD邊上，E在CD的延長(zhǎng)線上．求證：AE=CG，AE⊥CG；

（2）如圖2，若將圖1中的正方形DEFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度θ（0°＜θ＜90°），此時(shí)AE=CG還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖3，當(dāng)正方形DEFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，延長(zhǎng)CG交AE于點(diǎn)H，當(dāng)AD=4，DG=時(shí)，求線段CH的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析；（3）．

【解析】試題分析：（1）先判斷出△ADE≌△CDG，然后用互余判斷出垂直；

（2）先判斷出△ADE≌△CDG，然后用互余判斷出垂直；

（3）先判斷出△ADE≌△CDG，然后用互余判斷出垂直，然后用勾股定理計(jì)算出CM，AM最后用相似即可．

試題解析：（1）在△ADE和△CDG中，

DE=DG，∠ADE=∠CDG，AD=CD，

∴△ADE≌△CDG，

∴AE=CG，∠AED=∠CGD，

∵∠DCG+∠CGD=90°，

∴∠DCG+∠AED=90°，

∴AE⊥CG．

（2）∵∠CDG+∠ADG=90°，∠ADE+∠ADG=90°，

∴∠CDG=∠ADE

在△ADE和△CDG中，

DE=DG，∠ADE=∠CDG，AD=CD，

∴△ADE≌△CDG，

∴AE=CG，∠AED=∠CGD，

∵∠DCG+∠CGD=90°，

∴∠DCG+∠AED=90°，

∴AE⊥CG．

（3）如圖，

過點(diǎn)E作AD的垂線，垂足為N，連接AC，

在△ADE和△CDG中，

DE=DG，∠ADE=∠CDG，AD=CD，

∴△ADE≌△CDG，

∴∠EAD=∠DCM

∴tan∠DCM=，

∴DM=CD=

∴CM==，AM=AD﹣DM=

∵△CMD∽△AMH，

∴，

∴AH=，

∴CH==．