Question

某商店銷售一種產品．產品的進價是100元/件，物價部門規定，每件產品的銷售價不低于進價，且獲利不得超過其進價．為了解這種產品的月銷售量y（件）與實際售價x（元/件）之間的關系，每個月調整一次實際售價，試銷一段時間后，部門負責人把試銷情況列成下表：

實際售價x（元/件）	…	150	160	168	180	…
月銷售量y（件）	…	500	480	464	440	…

此外，銷售該產品的總開支z（元）（不含進價）與月銷售量y（件）存在如下的函數關系：z=20y+4000
（1）請你猜想y（件）與x（元/件）之間可能存在怎樣的函數關系；試求出y與x之間的函數表達式，寫出自變量的取值范圍，并驗證你的猜想；
（2）該商店銷售這種產品的月利潤為P（元），求P與x之間的函數表達式；（注：月利=月銷售額-成本-總開支）
（3）求該商店銷售這種產品的月利潤最大值是多少元？

Answer 1

分析：（1）根據圖表中的各數可得出y與x成一次函數關系，從而結合圖表的數可得出y與x的關系式．
（2）根據月利潤=月銷售額-成本-總開支可表示出P與x之間的函數表達式．
（3）利用二次函數的最值可得出月利潤最大值．

解答：解：（1）猜想y與x滿足一次函數關系．
設y=kx+b，由題意得：

150k+b=500 160k+b=480

，
解得：

k=-2 b=800

，
∴y=-2x+800（100≤x≤200）；

（2）P=yx-100y-z
=-2x²+800x-100（-2x+800）-[20（-2x+800）+4000]
=-2x²+1000x-80000+40x-16000-4000
=-2x²+1000x-80000+40x-16000-4000
=-2x²+1040x-100000；

（3）∵P=-2x²+1040x-100000=-2（x-260）²+35200，
對稱軸為x=260，
∴當100≤x≤200時，P隨x的增大而增大，
即當x=200時P取得最大值，此時P_max=28000．
∴該商店銷售這種產品的月利潤最大值是28000元．

點評：本題考查二次函數的應用，有一定難度，解答本題的關鍵是根據題意函數表達式，另外要注意掌握二次函數的最值的求法．