Question

根據以下10個乘積，回答問題：
11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；
16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．
（1）試將以上各乘積分別寫成一個“□²-∅²”（兩數平方差）的形式，并寫出其中一個的思考過程；
（2）將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；
（3）若用a₁b₁，a₂b₂，…，a_nb_n表示n個乘積，其中a₁，a₂，a₃，…，a_n，b₁，b₂，b₃，…，b_n為正數．試由（1）、（2）猜測一個一般性的結論．（不要求證明）

Answer 1

分析：利用兩數的和與這兩數的差的積，就是它們的平方差．如11×29；可想幾加幾等于29，幾減幾等于11，可得20+9和20-9，可得11×29=20²-9²，同理思考其它的．

解答：解：（1）11×29=20²-9²；12×28=20²-8²；13×27=20²-7²；
14×26=20²-6²；15×25=20²-5²；16×24=20²-4²；
17×23=20²-3²；18×22=20²-2²；19×21=20²-1²；
20×20=20²-0²．（4分）
例如，11×29；假設11×29=□²-○²，
因為□²-○²=（□+○）（□-○）；
所以，可以令□-○=11，□+○=29．
解得，□=20，○=9．故11×29=20²-9²．（5分）
（或11×29=（20-9）（20+9）=20²-9²．5分）

（2）這10個乘積按照從小到大的順序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20．（7分）

（3）①若a+b=40，a、b是自然數，則ab≤20²=400．（8分）
②若a+b=40，則ab≤20²=400．（8分）
③若a+b=m，a、b是自然數，則ab≤(

m

2

)2．（9分）
④若a+b=m，則ab≤(

m

2

)2．（9分）
⑤若a₁+b₁=a₂+b₂=a₃+b₃=a_n+b_n=40．且
|a₁-b₁|≥|a₂-b₂|≥|a₃-b₃|≥≥|a_n-b_n|，
則a₁b₁≤a₂b₂≤a₃b₃≤≤a_nb_n．（10分）
⑥若a₁+b₁=a₂+b₂=a₃+b₃=a_n+b_n=m．且
|a₁-b₁|≥|a₂-b₂|≥|a₃-b₃|≥…≥|a_n-b_n|，
則a₁b₁≤a₂b₂≤a₃b₃≤…≤a_nb_n．（10分）
說明：給出結論①或②之一的得（1分）；給出結論③或④之一的得（2分）；
給出結論⑤或⑥之一的得（3分）．

點評：此題主要考查了乘法的平方差公式．即兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差，這個公式就叫做乘法的平方差公式．