Question

【題目】判定一個三角形是不是等腰三角形，我們經常利用以下的判定方法：“如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等”，請你利用以上判定方法解決下列問題

　　如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為β

（0°＜β＜180°），得到△A′B′C

（1）設A′B′與CB相交于點D，

①當旋轉角為β=25°，∠B′DB= °；

②當AB∥CB′ 時，求證：D是A′B′ 的中點；

（2）如圖2，E是AC邊上的點，且，P是A′B′邊上的點，且∠A′PC=60°，連接EP、CP，已知AC=10，①當β= °時，EP長度最大，最大值為 ；

②當β= °時，△ECP的面積最大，最大值為 。

Answer 1

【答案】（1）①55°；②詳見解析；（2）①當β= 120°時，EP長度最大，最大值為16；②當β=30°時，△ECP的面積最大，最大值為30 .

【解析】試題分析：（1）①根據旋轉的性質，旋轉前后兩個圖形全等，則∠A'B'C=∠B，∠ACA′=∠B′CB，根據三角形的外角等于不相鄰的兩個內角和即可得到結論；

②根據平行的性質證明∠BCB'=∠B'，然后證明∠A'DC=∠A'，根據等角對等邊即可證得；

（2）①∠A′PC=60°時易證△A'CP是等邊三角形，當A、C、P在一條直線上時，EP的長度最大，據此即可求解；

②由PC=10是固定不變的，故只要PC邊上的高最大即可，當EC⊥PC時，PC邊上的高的最大值為EC， 此時∠ECP=90°，即可得到結論．

試題解析：解：（1）①∵∠ACB=∠A′CB′=90°，∴∠ACA′=∠B′CB=25°，∵∠B′=∠B=30°，∴∠B′DB=∠B′+∠B′CB=30°+25°=55°；

②∵AB∥CB′，∴∠DCB′=∠B=∠B′=30°，∴DC=DB′，

又∠DCA′=∠A′C B′-∠DCB′=90°-30°=60°=∠A′，∴DC=DA′，∴DB′=DA′（等量代換）．即D是A′B′ 的中點；

（2）①∵AE=AC，AC=10，∴AE=4，EC=6．∵∠A′PC=60°，∠A'=∠A=60°，∴△A'CP是等邊三角形，∴CP=CA'=10，∠A'CP=60°，∵當A、C、P在一條直線上時，EP的長度最大，即當β=180°﹣60°=120°時，EP長度最大，最大值為EC+AC=6+10=16．

②∵△A'CP是等邊三角形，∴CP=CA'=10，∠A'CP=60°．∵PC=10是固定不變的，∴只要PC邊上的高最大即可，當EC⊥PC時，PC邊上的高的最大值為EC， 此時∠ECP=90°，∴β=90°-60°=30°，△ECP的面積=CE×PC=×6×10=30．