Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于E，OD⊥BC交⊙O于D，DE交BC于F，點P為CB延長線上的一點，延長PE交AC于G，PE＝PF

（1）求證：直線PG為⊙O的切線；

（2）求證：GA＝GE；

（3）判斷OG與BE的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）OG∥BE，理由詳見解析．

【解析】

（1）連接OE，根據等腰三角形的性質得到∠PEF＝∠PFE，∠OED＝∠ODE，證明∠OEP＝90°，根據切線的判定定理證明結論；

（2）根據等腰三角形的性質得到∠OEB＝∠OBE，根據對頂角相等得到∠AEG＝∠BEP，得到∠AEG＝∠A，根據等腰三角形的判定定理證明；

（3）根據切線長定理得到∠OGC＝∠OGE，根據三角形的外角性質得到∠OGE＝∠AEG，根據平行線的判定定理證明即可．

（1）證明：連接OE，

∵PE＝PF，

∴∠PEF＝∠PFE，

∵OD＝OE，

∴∠OED＝∠ODE，

∵∠DOF＝90°，

∴∠ODE+∠OFD＝90°，

∵∠OFD＝∠PFE，

∴∠OED+∠PEF＝90°，即∠OEP＝90°，

∴直線PG為⊙O的切線；

（2）證明：∵OB＝OE，

∴∠OEB＝∠OBE，

∵∠OEB+∠BEP＝90°，

∴∠OBE+∠BEP＝90°，

∵∠AEG＝∠BEP，

∴∠OBE+∠AEG＝90°，

∵∠C＝90°，

∴∠OBE+∠A＝90°，

∵∠AEG＝∠A，

∴GA＝GE；

（3）解：OG∥BE，

理由如下：∵GC、GE是⊙O的切線，

∴∠OGC＝∠OGE，

∵∠OGC+∠OGE＝∠AEG+∠A，∠AEG＝∠A，

∴∠OGE＝∠AEG，

∴OG∥BE．