Question

【題目】如圖，對稱軸為直線的拋物線經過、兩點，與軸的另一個交點為，點在軸上，且．

（1）求該拋物線的表達式；

（2）設該拋物線上的一個動點的橫坐標為．

①當時，求四邊形的面積與的函數關系式，并求出的最大值；

②點在直線上，若以為邊，點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出所有符合條件的點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）①S=，S的最大值為；②點P的坐標分別為：P1（1，4），P2（2，3），P3（，），P4（，）．

【解析】

（1）由對稱軸和A點坐標可求出B點坐標，設拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3)，把C（0，3）代入，可求出a值，即可得答案；

（2）①如圖，連結BC，過點P作PE∥y軸，交BC于點E，根據B、C兩點坐標可得直線BC的解析式，根據可求出OD、CD的長，設P（t，-t2+2t+3），則E（t，-t+3），可用含t的代數式表示出PE的長，根據S四邊形CDBP=S△BCD+S△BPC可得S的表達式，根據二次函數的性質即可求出S的最大值；

②由以CD為邊，點C、D、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形可得PQ∥CD，且PQ=CD，分點P在點Q上方和點P在點Q下方兩種情況，利用平行四邊形的性質求出t值即可得答案．

（1）∵對稱軸為x=1，A（-1，0），

∴B（3，0），

設所求拋物線的表達式為y=a（x+1）（x-3），

∵拋物線經過C（0，3）兩點，

∴3=a（0+1）（0-3），

解得：a=-1，

∴所求拋物線的表達式為y=-（x+1）（x-3），即y=-x2+2x+3．

（2）①如圖，連結BC，過點P作PE∥y軸，交BC于點E，

∵B（3，0），C（0，3），

∴直線BC的解析式為y=-x+3．

∵OB=3OD，OB=OC=3，

∴OD=1，CD=2．

設P（t，-t2+2t+3），則E（t，-t+3）．

∴PE=-t2+2t+3-（-t+3）=-t2+3t．

∴S四邊形CDBP=S△BCD+S△BPC=CD·OB+PE·OB，

∴S=

∵a=＜0，且0＜t＜3，

∴當t=時，S的最大值為．

②∵以CD為邊，點C、D、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴PQ∥CD，且PQ=CD=2，

∵點P在拋物線上，點Q在直線BC上，

∴點P（t，-t2+2t+3），點Q（t，-t+3）．

分兩種情況討論：

第一種情況：如圖，當點P在點Q上方時，

∴（-t2+2t+3）-（-t+3）=2．即t2-3t+2=0，

解得：t1=1，t2=2，

∴P1（1，4），P2（2，3）．

第二種情況：如圖，當點P在點Q下方時，

∴（-t+3）-（-t2+2t+3）=2．即t2-3t-2=0，

解得：t3=，t4=，

∴P3（，），P4（，）．

綜上所述，所有符合條件的點P的坐標分別為：P1（1，4）， P2（2，3），P3（，）， P4（，）．