Question

E、F為平行四邊形ABCD的對角線DB上三等分點(diǎn)，連AE并延長交DC于P，連PF并延長交AB于Q，如圖①
（1）在備用圖中，畫出滿足上述條件的圖形，記為圖②，試用刻度尺在圖①、②中量得AQ、BQ的長度，估計AQ、BQ間的關(guān)系，并填入下表：（長度單位：cm）

	AQ長度	BQ長度	AQ、BQ間的關(guān)系
圖①中
圖②中

由上表可猜測AQ、BQ間的關(guān)系是AQ=3QB；
（2）上述（1）中的猜測AQ、BQ間的關(guān)系成立嗎？為什么？
（3）若將平行四邊形ABCD改為梯形（AB∥CD）其他條件不變，此時（1）中猜測AQ、BQ間的關(guān)系是否成立？（不必說明理由）

Answer 1

分析：（1）用刻度尺量得AQ、BQ的長度如下表；
（2）經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)QB，AB都與DP相關(guān)，通過證明△PDF∽△QBF，△PDE∽△BAE，根據(jù)等分點(diǎn)得出相似比，得出QB，AB的關(guān)系，再得出AQ、BQ間的關(guān)系是AQ=3QB；
（3）同（2）證明△PDF∽△QBF，△PDE∽△BAE，根據(jù)等分點(diǎn)得出相似比，得出QB、AB的關(guān)系，再得出AQ、BQ間的關(guān)系是AQ=3QB．

解答：解：（1）

	AQ長度	BQ長度	AQ、BQ間的關(guān)系
圖①中	2.7	0.9	AQ=3BQ
圖②中	3.3	1.1	AQ=3BQ

注：測量數(shù)據(jù)基本接近上表中的數(shù)據(jù)，均可得分
猜想：AQ=3QB；

（2）成立
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴DC∥AB
∴△PDF∽△QBF，
∴

DP

BQ

=

DF

BF

，
∵E F為BD三等分點(diǎn)
∴

DP

BQ

=2，
同理

AB

PD

=2，
∴

AB

BQ

=4，
∴

AQ

BQ

=3，
即AQ=3BQ；

（3）成立．

點(diǎn)評：本題綜合考查了平行四邊形，梯形的性質(zhì)，同時考查了等分點(diǎn)在相似三角形求相似比中的應(yīng)用．