Question

【題目】如圖1，直線MN與直線AB、CD分別交于點E、F，∠1與∠2互補．

（1）求證：AB∥CD；

（2）如圖2，∠AEF與∠EFC的角平分線相交于點P，直線EP與直線CD交于點G，過點G做EG的垂線，交直線MN于點H．求證：PF∥GH；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接PH，K是GH上一點，且∠PHK=∠HPK，作∠EPK的平分線交直線MN于點Q．問∠HPQ的大小是否發生變化？若不變，請求出∠HPQ的度數；若變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）∠HPQ的大小不會發生變化

【解析】試題分析：

（1）由題意可得∠1+∠2=180°，∠1+∠AEF=180°，從而可得∠2=∠AEF，由此可得AB∥CD；

（2）由本題的已知條件結合（1）中所得AB∥CD可證得PF⊥EG，結合GH⊥EG即可得到PF∥GH；

（3）設∠KPH=α，由PF∥GH可得∠FPH=∠PHK，結合∠PHK=∠HPK可得∠FPH=∠KPH=α，這樣由PQ平分∠EPK，即可得到∠KPQ= ，從而可得∠HPQ=45°+α﹣α=45°，由此說明∠HPQ的大小不會發生變化．

試題解析：

（1）如圖1，∵∠1與∠2互補，

∴∠1+∠2=180°．

又∵∠1+∠AEF=180°，

∴∠2=∠AEF，

∴AB∥CD；

（2）如圖2，由（1）知，AB∥CD，

∴∠BEF+∠EFD=180°．

又∵∠BEF與∠EFD的角平分線交于點P，

∴∠FEP+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，

∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．

∵GH⊥EG，

∴PF∥GH；

（3）如圖3，設∠KPH=α，

∵PF∥GH，

∴∠FPH=∠PHK，而∠PHK=∠HPK，

∴∠FPH=∠KPH=α，

∵PQ平分∠EPK，

∴∠KPQ= ，

∴∠HPQ=45°+α﹣α=45°，

即∠HPQ的大小不會發生變化．