Question

（2006•武漢）（人教版）已知平面直角坐標(biāo)系中，B（-3，0），A為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，半徑為的⊙A交y軸于點(diǎn)G、H（點(diǎn)G在點(diǎn)H的上方），連接BG交⊙A于點(diǎn)C．

（1）如圖①，當(dāng)⊙A與x軸相切時(shí)，求直線BG的解析式；
（2）如圖②，若CG=2BC，求OA的長(zhǎng)；
（3）如圖③，D為半徑AH上一點(diǎn)，且AD=1，過(guò)點(diǎn)D作⊙A的弦CE，連接GE并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)F，當(dāng)⊙A與x軸相離時(shí)，給出下列結(jié)論：①的值不變；②OG•OF的值不變．其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你判斷哪一個(gè)結(jié)論正確，證明正確的結(jié)論并求出其值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意應(yīng)先求出G點(diǎn)的坐標(biāo)，再將B、G兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b中；
（2）由題意需過(guò)點(diǎn)C作CM⊥GH于點(diǎn)M，再利用比例線段求解；
（3）需連接CH、EH，作DN⊥EG于點(diǎn)N，再求的值．
解答：解：（1）⊙A與x軸相切，OA=，G（0，5）．
設(shè)直線BG的解析式為：y=kx+b，將B、G兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b中，
，
解得：
得出直線BG的解析式為：y=+5，
y=+5．

（2）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥GH于點(diǎn)M，則CM∥BO，
∴△GCM∽△GBO，
∴，
∵CG=2BC，B0=3，
∴，
∴CM=2．
設(shè)GM=x，x_l=1，x₂=4，
∴MG=1或MG=4．
GO=6或GO=，
當(dāng)CO=＜，
則A點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸，不合題意，故舍．
∴GO=6．∴OA=GO-AG=．

（3）的值不變，其值為7．
證明：連接CH、EH，作DN⊥EG于點(diǎn)N，則DN∥HE．
OG=OB•①，
同理OG=FO•②，
的值不變，其值為7．
點(diǎn)評(píng)：此題作為壓軸題，綜合考查函數(shù)、方程與圓的切線，三角形相似的判定與性質(zhì)等知識(shí)．