Question

【題目】小賢與小杰在探究某類二次函數問題時，經歷了如下過程：

求解體驗：

（1）已知拋物線y＝﹣x2+bx﹣3經過點（﹣1，0），則b＝　 　，頂點坐標　 　，該拋物線關于點（0，1）成中心對稱的拋物線的表達式是　 　．

抽象感悟：

我們定義：對于拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），以y軸上的點M（0，m）為中心，作該拋物線關于點M對稱的拋物線y'，則我們又稱拋物線y'為拋物線y的“衍生拋物線”，點M為“衍生中心”．

（2）已知拋物線y＝﹣x2﹣2x+5關于點（0，m）的衍生拋物線為y'，若這兩條拋物線有交點，求m的取值范圍．

問題解決：

（3）已知拋物線y＝ax2+2ax﹣b（a≠0）若拋物線y的衍生拋物線為y'＝bx2﹣2bx+a2（b≠0），兩拋物線有兩個交點，且恰好是它們的頂點，求a，b的值及衍生中心的坐標．

Answer 1

【答案】（1）﹣4，（﹣2，1），y＝x2﹣4x+5； （2）m≤5；（3）a＝3，b＝﹣3，衍生中心的坐標為（0，6）；

【解析】

求解體驗：（1）利用待定系數法求出b的值，進而求出頂點坐標，在拋物線上取一點（0，﹣3），求出點（﹣2，1）和（0，﹣3）關于（0，1）的對稱點坐標，利用待定系數法即可得出結論；

抽象感悟：（2）求出拋物線的頂點坐標（﹣1，6），進而利用待定系數法求出衍生函數解析式，聯立即可得出結論；

問題解決：（3）①求出拋物線的頂點坐標和衍生拋物線的頂點坐標，分別代入拋物線解析式中，即可求出a，b的值，即可得出結論；

解：求解體驗：

（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx﹣3經過點（﹣1，0），

∴﹣1﹣b﹣3＝0，

∴b＝﹣4，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x+2）2+1，

∴拋物線的頂點坐標為（﹣2，1），

∴拋物線的頂點坐標（﹣2，1）關于（0，1）的對稱點為（2，1），

即：新拋物線的頂點坐標為（2，1），

令原拋物線的x＝0，

∴y＝﹣3，

∴（0，﹣3）關于點（0，1）的對稱點坐標為（0，5），

設新拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2+1，

∵點（0，5）在新拋物線上，

∴5＝a（0﹣2）2+1，

∴a＝1，

∴新拋物線解析式為y＝（x﹣2）2+1＝x2﹣4x+5，

故答案為：﹣4，（﹣2，1），y＝x2﹣4x+5；

抽象感悟：

（2）∵拋物線y＝﹣x2﹣2x+5＝﹣（x+1）2+6①，

∴拋物線的頂點坐標為（﹣1，6），

設衍生拋物線為y′＝a（x﹣1）2+2m﹣6，

∵拋物線y＝﹣x2﹣2x+5關于點（0，m）的衍生拋物線為y′，

∴a＝1，

∴衍生拋物線為y′＝（x﹣1）2+2m﹣6＝x2﹣2x+2m﹣5②，

聯立①②得，x2﹣2x+2m﹣5＝﹣x2﹣2x+5，

整理得，2x2＝10﹣2m，

∵這兩條拋物線有交點，

∴10﹣2m≥0，

∴m≤5；

問題解決：

（3）①拋物線y＝ax2+2ax﹣b＝a（x+1）2﹣a﹣b，

∴此拋物線的頂點坐標為（﹣1，﹣a﹣b），

∵拋物線y的衍生拋物線為y′＝bx2﹣2bx+a2＝b（x﹣1）2+a2﹣b，

∴a+b＝0，③

∵兩個拋物線有兩個交點，且恰好是它們的頂點，

∴b+2b+a2＝﹣a﹣b④，

聯立③④，得：

a＝0（舍）或a＝3，

∴b＝﹣3，

∴拋物線y的頂點坐標為（﹣1，0），拋物線y的衍生拋物線的頂點坐標為（1，12），

∴衍生中心的坐標為：（0，6）.