Question

【題目】已知△ABC內接于⊙O，AC是⊙O的直徑，D是的中點．過點D作CB的垂線，分別交CB、CA延長線于點F、E．

（1）判斷直線EF與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若CF=6，∠ACB=60°，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）直線EF與圓O相切（2）8-

【解析】試題分析：(1)、首先根據直徑所對的圓周角為直角得出∠ABC=∠F=90°，從而得出AB∥EF，根據弧的中點得出OD⊥AB，從而根據平行線得出OD⊥EF，從而得出切線；(2)、首先根據Rt△CEF的勾股定理求出CE、EF和CF的長度，然后根據題意得出△ODE和△CEF相似求出DE的長度，最后根據陰影部分的面積等于△ODE的面積減去扇形OAD的面積求出答案.

試題解析：（1）直線EF與圓O相切，

理由為： 連接OD，如圖所示： ∵AC為圓O的直徑，∴∠CBA=90°， 又∵∠F=90°，
∴∠CBA=∠F=90°， ∴AB∥EF， ∴∠AMO=∠EDO， 又∵D為的中點，
∴， ∴OD⊥AB， ∴∠AMO=90°， ∴∠EDO=90°， 則EF為圓O的切線；
（2）在Rt△CEF中，∠ACB=60°，∴∠E=30°， 又∵CF=6， ∴CE=2CF=12，
根據勾股定理得：EF==6，
在Rt△ODE中，∠E=30°， ∴OD=OE，又OA=OE， ∴OA=AE=OC=CE=4，OE=8，
又∵∠ODE=∠F=90°，∠E=∠E， ∴△ODE∽△CFE， ∴， 即，

解得：DE=4， 又∵Rt△ODE中，∠E=30°， ∴∠DOE=60°，
則S陰影=S△ODE-S扇形OAD=×4×4-=8-