Question

如圖，雙曲線y=

k

x

（k＞0，x＞0）的圖象上有兩點P₁（x₁，y₁）和P₂（x₂，y₂），且x₁＜x₂，分別過P₁和P₂向x軸作垂線，垂足為B、D．過P₁和P₂向y軸作垂線，垂足為A、C．
（1）若記四邊形AP₁BO和四邊形CP₂DO的面積分別為S₁和S₂，周長為C₁和C₂，試比較S₁和S₂，C₁和C₂的大小；
（2）若P是雙曲線y=

k

x

（k＞0，x＞0）的圖象上一點，分別過P向x軸、y軸垂線，垂足為M、N．試問當P點落在何處時，四邊形PMON的周長最小？

Answer 1

分析：（1）根據反比例函數中系數k的幾何意義可直接得到S₁=S₂；由于AC、BD的值不能確定，所以應分AC=BD、AC＜BD、AC＞BD三種情況討論．
（2）根據題意畫出圖形，設出P點坐標，根據k為定值，則當x=y時四邊形的周長最小．

解答：解：（1）根據反比例函數系數k的幾何意義可知S₁=S₂=k；
當y₁-y₂=x₂-x₁，即AC=BD時，C₁=C₂；
當y₁-y₂＜x₂-x₁，即AC＜BD時，C₁＜C₂；
當y₁-y₂＞x₂-x₁，即AC＞BD時，C₁＞C₂．

（2）設P（x，y），即（x，

k

x

），
四邊形PMON的周長=2（x+y）=2（x+

k

x

），
因為面積相等的四邊形中正方形的周長最小，
所以x=

k

x

，即x²=k，
解得x=

k

，
故P點坐標為（

k

，

k

）．

點評：本題考查的是反比例函數系數k的幾何意義及最值問題，在解（1）時要注意注意分類討論．