Question

【題目】如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，AD交⊙O于點E．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）連接CE，若CE=6，AC=8，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，如圖，

∵CD為切線，

∴OC⊥CD，

又∵AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠1=∠3

又∵OA=OC，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴AC平分∠DAB

（2）解：連接BC，BE，BE交OC于F，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠AEB=90°，

易得四邊形DEFC為矩形，

∴OC⊥BE，

∴ = ，

∴BC=CE=6，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴AB= =10，

∵∠3=∠2，

∴Rt△ADC∽Rt△ACB，

∴AD：AC=AC：AB，

∴AD= =6.4，

∵∠DEC=∠ABC，

∴Rt△DEC∽Rt△CBA，

∴DE：BC=CE：AB，

∴DE= =3.6，

∴AE=AD﹣DE=6.4﹣3.6=2.8

【解析】（1）連接OC，如圖，根據切線的性質得到OC⊥CD，則可證明OC∥AD，所以∠1=∠3，加上∠1=∠2，于是得到∠2=∠3；（2）連接BC，BE，BE交OC于F，如圖，先利用圓周角定理得到∠AEB=90°，易得四邊形DEFC為矩形，則OC⊥BE，根據垂徑定理得到 = ，所以BC=CE=6，于是可計算出AB=10，接著證明Rt△ADC∽Rt△ACB，利用相似比計算出AD，證明Rt△DEC∽Rt△CBA，利用相似比計算出DE，然后計算AD﹣DE即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的性質定理的相關知識，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．