Question

將一副三角板，按下列要求擺放：
（1）如圖1．固定等腰直角三角板ABC，AO⊥BC，點O為垂足，另一個直角三角板DEF的直角頂點D與點O重合．現(xiàn)讓三角板DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，保證DF，DE分別交AB、AC于點M、N．試探求AN：BM的值．
（2）交換兩塊三角板的位置（如圖2）．固定直角三角板ABC，AO⊥BC，點O為垂足，另一個等腰直角三角板DEF的直角頂點D于點O重合，DF、DE分別交AB、AC于點M、N，AN：BM的值又會如何變化？
（3）通過上述操作與探求，試想如果將三角板換成任意直角三角形，那么AN：BM的值有規(guī)律可循嗎？

Answer 1

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠OAN=∠B=45°；
又∵∠BOM=∠AON=90°-∠AOM，
∴△MBO≌△NAO，
∴AN：BM=1：1=1．

（2）Rt△ABC中，AO⊥BC，則∠NAO=∠MBO，
又∵∠BOM=90°-∠AOM，
∠AON=90°-∠AOM
∴∠BOM=∠AON
∴△MBO∽△NAO，
∴AN：BM=AO：BO=tan∠B=tan30°=；

（3）通過上述操作與探求，試想如果將三角板換成任意直角三角形，那么AN：BM的值有規(guī)律可循，比值不變?nèi)耘f是tanB的值．
分析：（1）此題可通過證三角形的全等來求解；在△BOM和△AON中，由于△ABC是等腰直角三角形，易得OA=OB，∠OAN=∠B=45°，而∠BOM、∠AON是同角的余角，由此可證得兩個三角形全等，即AN、BM的比例關(guān)系為1．
（2）此題思路和（1）相同，只不過全等換成了相似，AO：OB=1：1換成了AO：OB=1：；
（3）通過上述操作與探求，試想如果將三角板換成任意直角三角形，那么AN：BM的值有規(guī)律可循，比值不變?nèi)耘f是tanB．證明思路和（2）一樣．
點評：此題主要考查了全等三角形以及相似三角形的判定和性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)值，難度不大．