Question

如圖，在直角坐標系xoy中，已知兩點O₁（3，0）、B（-2，0），⊙O₁與x軸交于原點O和點A，E是y軸上的一個動點，設點E的坐標為（0，m）．
（1）當點O₁到直線BE的距離等于3時，求直線BE的解析式；
（2）當點E在y軸上移動時，直線BE與⊙O₁有哪幾種位置關系；直接寫出每種位置關系時的m的取值范圍；
（3）若在第（1）題中，設∠EBA=α，求sin2α-2sinα•cosα的值．

Answer 1

解：（1）由已知得BE是⊙O₁的切線，
設切點為M，連接O₁M，則O₁M⊥BM，
∴O₁M=3，BM=4，又OE⊥BO，
∴△BOE∽△BMO，
∴=，
∴=，
∴m=，
設此時直線BE的解析式是y=kx+m，
將B（-2，0）及m=代入上式，解得k=，
∴y=x，
由圓的對稱性可得：m=-，直線BE也與⊙O₁相切，
同理可得：y₂=-x-；

（2）當m或m＜-時，直線與圓相離，
當m=或m=-時，直線與圓相切，
當＜m＜時，直線與圓相交；

（3）當直線BE與⊙O₁相切時，顯然存在另一條直線BF也與⊙O₁相切，
設直線BE、BF與⊙O₁相切于點M、N，連接O_1M、O₁N，有O_1M⊥BM，O_1N⊥BN，由圓的對稱性可知∠EBF=2∠EBO=2∠α，
sinα==，
cosα==，
過E作EH⊥BF于H，再△BEF中，
由三角形等積性質得；EH•BF=EF•BO，
BF=BE=，EF=2m=3，BO=2，
∴EH=，
sin2α=sin∠EBF===，
由此可得：sin2α-2sinα•cosα=××2=0．
分析：（1）由已知得出BE是⊙O₁的切線，先設切點為M，連接O₁M，則O₁M⊥BM，得出O₁M、BM的值，再根據OE⊥BO，又得出△BOE∽△BMO，即可求出m的值，最后設出直線BE的解析式是y=kx+m，
把B點的坐標以及m的值代入解出k的值，從而求出直線BE的解析式；
（2）根據（1）所求出的m的值，分三種情況進行討論，即可得出直線BE與⊙O₁的位置關系；
（3）先設直線BE、BF與⊙O₁相切，由圓的對稱性可知∠EBF=2∠EBO=2∠α，得出sinα與cosα的值，再過E作EH⊥BF于H，由三角形等積性質得出EH•BF=EF•BO，即可求出EH的值，最后即可求出sin2α-2sinα•cosα的值；
點評：此題考查了一次函數的綜合；解題的關鍵是根據直線與圓的位置關系，點到直線的距離以及銳角三角函數的求法分別進行解答．