Question

已知拋物線（）與軸相交于點，頂點為.直線 分別與軸，軸相交于兩點，并且與直線相交于點.
（1）如圖，將沿軸翻折，若點的對應點′恰好落在拋物線上，′與軸交于點，連結，求的值和四邊形的面積；

（2）在拋物線（）上是否存在一點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，試說明理由.

Answer 1

（1），；（2）或

試題分析：（1）先求得，由題意得點與點′關于軸對稱，即可得到點′的坐標，從而求得a的值，即得點到軸的距離為3，再根據待定系數法求得直線的解析式，再求得它與軸的交點坐標，即可得到四邊形的面積；
（2）當點在軸的左側時，若是平行四邊形，則平行且等于，則把向上平移個單位得到，坐標為，代入拋物線的解析式即可求得點P的坐標；當點在軸的右側時，若是平行四邊形，則與互相平分，即可得到點P的坐標.
（1）
由題意得點與點′關于軸對稱，，
將′的坐標代入得，
（舍去）， ，點到軸的距離為3.
， ，直線的解析式為，
它與軸的交點為點到軸的距離為.

（2）當點在軸的左側時，若是平行四邊形，則平行且等于，
把向上平移個單位得到，坐標為，代入拋物線的解析式，
得：
（不舍題意，舍去），，
當點在軸的右側時，若是平行四邊形，則與互相平分，
．
與關于原點對稱，
，
將點坐標代入拋物線解析式得：，
（不合題意，舍去），，．
存在這樣的點或，能使得以為頂點的四邊形是平行四邊形．
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．