Question

在平面直角坐標系中，對于任意兩點與的“非常距離”，給出如下定義：
若，則點與點的非常距離為；
若，則點與點的非常距離為；
例如：點（1，2），點（3，5），因為，所以點與點的“非常距離”為，也就是圖1中線段與線段長度的較大值（點Q為垂直于y軸的直線與垂直于x軸的直線的交點）．
（1）已知點A（，0），B為y軸上的一個動點，
①若點A與點B的“非常距離”為2，寫出滿足條件的點B的坐標；
②直接寫出點A與點B的“非常距離”的最小值．
（2）已知C是直線上的一個動點，
①如圖2，點D的坐標是（0，1），求點C與點D的“非常距離”的最小值及相應的點C的坐標；
②如圖3，E是以原點O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，求點C與點E的“非常距離”的最小值及相應點E和點C的坐標．

Answer 1

（1）①B（0，2）或（0，-2）；②；
（2）①最小值，C（，）；②最小值1，E（，），C（，）

試題分析：（1）①根據點B位于y軸上，可以設點B的坐標為（0，y）．由“非常距離”的定義可以確定，據此可以求得y的值；
②設點B的坐標為（0，y）．因為，所以點A與點B的“非常距離”最小值為；
（2）①設點C的坐標為（，）．根據材料“若，則點P₁與點P₂的“非常距離”為”知，C、D兩點的“非常距離”的最小值為，據此可以求得點C的坐標；
②當點E在過原點且與直線垂直的直線上時，點C與點E的“非常距離”最小，即E（，）．解答思路同上．
（1）①∵B為y軸上的一個動點，
∴設點B的坐標為（0，y）,
，

解得，y=2或y=-2；
∴點B的坐標是（0，2）或（0，-2）；
②點A與點B的“非常距離”的最小值為

（2）①如圖2，取點C與點D的“非常距離”的最小值時，需要根據運算定義“若，則點P₁與點P₂的“非常距離”為”解答，此時|=．即AC=AD，
∵C是直線上的一個動點，點D的坐標是（0，1），
∴設點C的坐標為（，），
，
解得，
∴點C與點D的“非常距離”的最小值為：，
此時C（，）；
②E（，）
，
解得，
則點C的坐標為（，），
最小值為1．
點評：解答本題的關鍵是讀懂題意，正確理解題中的“非常距離”的定義。