Question

【題目】如圖，在中，點是的中點，點是線段的延長線上的一動點，連接，過點作的平行線，與線段的延長線交于點，連接、．

求證：四邊形是平行四邊形．

若，，則在點的運動過程中：

①當________時，四邊形是矩形，試說明理由；

②當________時，四邊形是菱形．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、①、2；②、4．

【解析】

(1)、首先證明△BEF和△DCF全等，從而得出DC=BE，結合DC和AB平行得出平行四邊形；(2)、①、根據矩形得出∠CEB=90°，結合∠ABC=120°得出∠CBE=60°，根據直角三角形的性質得出答案；②、根據菱形的性質以及∠ABC=120°得出△CBE是等邊三角形，從而得出答案．

(1)、證明：∵AB∥CD，∴∠CDF=∠FEB，∠DCF=∠EBF，∵點F是BC的中點，

∴BF=CF，在△DCF和△EBF中，∠CDF=∠FEB，∠DCF=∠EBF，FC=BF，

∴△EBF≌△DCF（AAS）， ∴DC=BE， ∴四邊形BECD是平行四邊形；

(2)、①BE=2；∵當四邊形BECD是矩形時，∠CEB=90°，∵∠ABC=120°，∴∠CBE=60°；

∴∠ECB=30°，∴BE=BC=2，

②BE=4，∵四邊形BECD是菱形時，BE=EC，∵∠ABC=120°，∴∠CBE=60°，

∴△CBE是等邊三角形，∴BE=BC=4．