Question

如圖，是△的外角的平分線，交的延長線于，延長交△的外接圓于點，連結，．

（1）求證：；

（2）求證：；

（3）若是△外接圓的直徑，，，求的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）見解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）可通過證角相等來得出邊相等，根據ACBF是圓的內接四邊形，那么外角∠DAC=∠FBC，那么關鍵就是證明∠FCB=∠DAC，根據AD平分∠EAC，即∠EAD=∠DAC=∠FAB，我們發現∠FAB和∠FCB正好對應了同一段弧，因此便可得出∠FBC=∠FCB了；

（2）本題實際要證明△FBA和△FDB相似，（1）中已證得∠FAB=∠FCB=∠FBC，又有一個公共角，因此兩三角形就相似了；

（3）根據∠EAC=120°可以得到∠DAC=60°，根據AB是△ABC外接圓的直徑可以提出AC⊥BC，然后在直角三角形ABC中，有∠BAC的度數，有BC的長，就能求出AC的長，然后在直角三角形ACD中，根據∠ACD=60°，即可用三角函數求出AD．

（1），，

．

，，

，，

．

，

，

；

（2），，

．又，

△△，

，

即；

（3）是直徑，．

，

，

．

在Rt△中，，，．

在Rt△中，．

考點：圓的綜合題

點評：本題知識點多，綜合性強，在中考中比較常見，在各種題型中均有出現，難度較大，需特別注意.