Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點F．

（1）求證：AE=EF．

（2）如圖2，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上的任意一點 ”其余條件不變，那么結論AE=EF是否成立呢？若成立，請你證明這一結論，若不成立，請你說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立，證明見解析

【解析】試題分析：（1）取AB的中點G，連接EG，根據已知條件利用ASA判定△AME≌△ECF，因為全等三角形的對應邊相等，所以AE=EF．
（2）在AB上取一點M，使AM=EC，連接ME，根據已知條件利用ASA判定△AME≌△ECF，因為全等三角形的對應邊相等，所以AE=EF．

試題解析：

（1）證明：取AB的中點G，連接EG

∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC，∠B=∠BCD=∠DCG=90°

∵點E是邊BC的中點

∴AM=EC=BE

∴∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°，

∵CF平分∠DCG，

∴∠DCF=∠FCG=45°，

∴∠ECF=180°－∠FCG=135°，

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠AEB+∠CEF=90°，

又∵∠AEB+∠GAE=90°，

∴∠GAE=∠CEF，

在△AGE和△ECF中，∠GAE=∠CEF，AG=CE，∠AGE=∠ECF∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE=EF

（2）證明：在AB上取一點M，使AM=EC，連結ME，

∴BM=BE∴∠BME=45°∴∠AME=135°.

∵CF是外角平分線，

∴∠DCF = 45°.

∴∠ECF = 135°.

∴∠AME = ∠ECF .

∵∠AEB +∠BAE=90°，∠AEB + ∠CEF = 90°,

∴∠BAE = ∠CEF.

∴△AME ≌ △ECF（ASA).

∴AE=EF.