Question

【題目】已知，如圖坐標平面內，A（﹣2，0），B（0，﹣4），AB⊥AC，AB=AC，△ABC經過平移后，得△A′B′C′，B點的對應點B′（6，0），A，C對應點分別為A′，C′．

（1）求C點坐標；
（2）直接寫出A′，C′坐標，并在圖（2）中畫出△A′B′C′；
（3）P為y軸負半軸一動點，以A′P為直角邊以A’為直角頂點，在A′P右側作等腰直角三角形A′PD．①試證明點D一定在x軸上；②若OP=3，求D點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（﹣2，0），B（0，﹣4），

∴AO=2，BO=4，

作CH⊥x軸于H，如圖1所示：

則∠CHA=90°=∠AOB，

∴∠ACH+∠CAH=90°，

∵AB⊥AC，

∴∠BAO+∠CAH=90°，

∴∠ACH=∠BAO，

在△ACH和△BAO中， ，

∴△ACH≌△BAO（AAS），

∴AH=BO=4，CH=AO=2，

∴OH=AO+AH=6，

∴C（﹣6，﹣2）

（2）

解：∵B（0，﹣4），B′（6，0），

∴△ABC向上平移4個單位長度，再向右平移6個單位長度，

∴A′（4，4），C′（0，2）

（3）

解：①連B′D，延長DB′交PC′于E，交A′P于F，如圖3所示：

∵△A′B′C′和△A′PD是等腰直角三角形，

∴A′B′=A′C′，A′P=A′D，∠B′A′C′=∠DA′P=90°，

∴∠PA′C′=∠DA′B′，

在：△A′DB′和△A′PC′中， ，

∴△A′DB′≌△A′PC′（SAS），

∴∠A′DB′=∠A′PC′，

∵∠PFE=∠A′FD，

∴∠PEF=∠PA′D=90°，

∴DB′⊥y軸，

∴D點在x軸上；

②∵△A′DB′≌△A′PC′得，

∴B′D=C′P=5，

∴OD=11，

∴D（11，0）．

【解析】（1）由點的坐標得出AO=2，BO=4，作CH⊥x軸于H，證出∠ACH=∠BAO，由AAS證明△ACH≌△BAO，得出AH=BO=4，CH=AO=2，求出OH=AO+AH=6，即可得出點C的坐標；C（﹣6，﹣2）；（2）由B（0，﹣4）和B′（6，0），得出△ABC向上平移4個單位長度，再向右平移6個單位長度得△A′B′C′，即可得出A′，C′坐標，畫出圖形即可；（3）①連B′D，延長DB′交PC′于E，交A′P于F，由等腰直角三角形的性質得出A′B′=A′C′，A′P=A′D，∠B′A′C′=∠DA′P=90°，證出∠PA′C′=∠DA′B′，由SAS證明△A′DB′≌△A′PC′，得出∠A′DB′=∠A′PC′，由三角形內角和得出∠PEF=∠PA′D=90°，得出DB′⊥y軸，即可得出D點在x軸上；
②由全等三角形的性質得出B′D=C′P=5，得出OD=11，即可得出答案．