Question

（2005•荊州）已知二次函數y=x²-kx+k-5．
（1）求證：無論k取何實數，此二次函數的圖象與x軸都有兩個交點；
（2）若此二次函數圖象的對稱軸為x=1，求它的解析式；
（3）若（2）中的二次函數的圖象與x軸交于A、B，與y軸交于點C；D是第四象限函數圖象上的點，且OD⊥BC于H，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據二次函數與二次方程的對應關系，可判斷出二次方程x²-kx+k-5=0有兩個不同的根，易得此二次函數的圖象與x軸都有兩個交點；
（2）根據對稱軸的方程易得k的值，將k的值代入可得解析式；
（3）根據解析式，易得ABC的坐標，進而可得BC的斜率，根據垂直的判定方法，可得OD的斜率，解可得x的值，即可得D的坐標．
解答：（1）證明：對于二次方程：x²-kx+k-5=0，
有△=（-k）²-4k+20=k²-4k+4+16=（k-2）²+16＞0；
可得其必有兩個不相等的根；
故無論k取何實數，此二次函數的圖象與x軸都有兩個交點．

（2）解：若此二次函數圖象的對稱軸為x=1，
則對稱軸的方程為-（-k）=1，k=2；
易得它的解析式為y=x²-2x-3．

（3）解：若函數解析式為y=x²-2x-3；
易得其與x軸的交點坐標為A（-1，0）B（3，0）；
與y軸的交點C的坐標為（0，-3）；
BC的解析式為：y=x-3；
設D的坐標為（x，x²-2x-3），由OD⊥BC，圖象過（0，0），則OD的解析式為：y=-x，
易得x²-2x-3=-x；
故x=，
解可得D的坐標為（，-）
點評：本題考查學生將二次函數的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題的能力．