Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，過對角線BD中點O的直線分別交AB，CD邊于點E，F.

（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；

（2）當四邊形DEBF是菱形時，求菱形的周長．

（3）在（2）的基礎上，直接寫出BD與EF的位置關系．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）；（3）

【解析】

（1）根據矩形ABCD的性質，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四邊形BEDF的對角線互相平分，進而得出結論；

（2）設，則，在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，即可得出菱形的周長；

（3）根據菱形的性質即可得出答案．

解：（1）證明：在矩形ABCD中，AB∥DC

∴

又 O是BD的中點

∴OB=OD

在△BOE與△DOF中

∴△BOE≌△DOF

∴EO=FO

又 BO=DO

∴四邊形BEDF為平行四邊形

（2）∵四邊形DEBF是菱形，

∴，

設，則，

在中，

解得：

∴菱形的周長為：；

（3）∵四邊形DEBF是菱形

∴．