Question

【題目】如圖，在第一象限內作射線OC，與x軸的夾角為30°，在射線OC上取點A，過點A作AH⊥x軸于點H．在拋物線y=x2(x>0)上取點P，在y軸上取點Q，使得以P、O、Q為頂點，且以點Q為直角頂點的三角形與△AOH全等，則符合條件的點A的坐標是__________．

Answer 1

【答案】（，），（3，）,（，2），（，）

【解析】

此題應分四種情況考慮：

①∠POQ=∠OAH=60°，此時A、P重合，可聯立直線OA和拋物線的解析式，即可得A點坐標；

②∠POQ=∠AOH=30°，此時∠POH=60°，即直線OP：y=x，聯立拋物線的解析式可得P點坐標，進而可求出OQ、PQ的長，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到點A的坐標．

③當∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°時，此時△QOP≌△AOH，由此求得點A的坐標；

④當∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此時△OQP≌△AOH，由此求得點A的坐標；

①當∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，那么A、P重合；

由于∠AOH=30°，設A坐標為（a，b），

在直角三角形OAH中，tan∠AOH=tan30°== ，

設直線OA的方程為y=kx，把A的坐標代入得k==，

∴直線OA的解析式： y=x，聯立拋物線的解析式，

得：，

解得 ， ；

∴A（，）；

②當∠POQ=∠AOH=30°，此時△POQ≌△AOH；

易知∠POH=60°，則直線OP：y= x，聯立拋物線的解析式，得： ，

解得，；

∴P（，3），即可得A（3，）；

③當∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°時，此時△QOP≌△AOH；

易知∠POH=60°，則直線OP：y=x，聯立拋物線的解析式，得：，

解得 ，；

∴P（，3），

∴OP=2，QP=2，

∴OH=OP=2，AH=QP=2，

∴A（2，2）；

④當∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此時△OQP≌△AOH；

此時直線OP：y=x，聯立拋物線的解析式，得：，

解得 ， ；

∴P（， ），

∴QP=，OP=，

∴OH=QP=，AH=OP=，

∴A（，）．

綜上可知：符合條件的點A有四個，且坐標為：（，），（3，），（，2），（，）．