Question

已知拋物線．
（1）求證：無論m為任何實數，拋物線與x軸總有兩個交點；
（2）若A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）是拋物線上的兩個不同點，求拋物線的解析式和n的值；
（3）若反比例函數的圖象與（2）中的拋物線在第一象限內的交點的橫坐標為x₀，且滿足2＜x₀＜3，求k的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：令．
得=m²-2m+4=（m-1）²+3．
∵不論m為任何實數，都有（m-1）²+3＞0，即△＞0．
∴不論m為任何實數，拋物線與x軸總有兩個交點．
．

（2）解：拋物線的對稱軸為：x=m-3，
∵拋物線上兩個不同點A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）的縱坐標相同，
∴點A和點B關于拋物線的對稱軸對稱，則．
∴m=2．
∴拋物線的解析式為．
∵A（n-3，n²+2）在拋物線上，
∴．
化簡，得n²+4n+4=0．
∴n=-2．　　

（3）解：當2＜x＜3時，
對于，y隨著x的增大而增大，
對于，y隨著x的增大而減小．
所以當x₀=2時，由反比例函數圖象在二次函數圖象上方，
得＞，
解得：k＞5．
當x₀=3時，由二次函數圖象在反比例函數圖象上方，
得＞，
解得k＜18．
所以k的取值范圍為：5＜k＜18．
分析：（1）根據原式等于0，利用根的判別式△＞0即可得出答案；
（2）首先利用拋物線上兩個不同點A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）的縱坐標相同，得出點A和點B關于拋物線的對稱軸對稱，則，進而求出m的值，即可得出二次函數解析式，即可得出n的值；
（3）根據當2＜x＜3時，對于，y隨著x的增大而增大，再利用x=2和3時y的值得出k的取值范圍．
點評：此題主要考查了拋物線與x軸交點問題以及二次函數與不等式等知識，根據二次函數圖象上點的特征得出n的值是解題關鍵．