Question

（2006•廈門）如圖1，連接△ABC的各邊中點得到一個新的△A₁B₁C₁，又連接△A₁B₁C₁的各邊中點得到△A₂B₂C₂，如此無限繼續下去，得到一系列三角形：△ABC，△A₁B₁C₁，△A₂B₂C₂，…
已知A（0，0），B（3，0），C（2，2）．

（1）求這一系列三角形趨向于一個點M的坐標；
（2）如圖2，分別求出經過A，B，C三點的拋物線解析式和經過A₁，B₁，C₁三點的拋物線解析式；
（3）設兩拋物線的交點分別為E、F，連接EF、EC₁、FC₁、EC₂、FC₂、C₁C₂，問：C₂與△EC₁F的關系是什么？
（4）如圖3，問：A，A₂，C，C₂四點可不可能在同一條拋物線上，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圖可知點M應該是△ABC的重心，可依據平面直角坐標系中，三角形重心的坐標是三角形三頂點的算術平均數來求出重心M的坐標；
（2）可先根據A、B、C三點的坐標和中位線定理求出A₁、B₁、C₁三點坐標，然后用待定系數法分別求出兩條拋物線的解析式；
（3）由于拋物線同時過E、F兩點，可聯立（2）中兩個拋物線的解析式，然后得出一個關于x的一元二次方程，求出的兩個解便是E、F點的坐標．然后求出C₂的坐標，如果C2的橫坐標大于或小于△EFC₁的所有頂點橫坐標，則說明C₂在△EFC1外，如果不是這樣，則E、F和C₁坐標都知道了，則根據兩點式方程求出△EFC₁三邊所在直線的方程，將C2的橫坐標分別代入這三個直線方程，
①如果求出的結果全大于或小于C₂的縱坐標，則說明C₂在△EFC₁外；
②如果求出的結果中有一至兩個等于C₂的縱坐標，則說明C₂在△EFC₁的邊上，甚至頂點上；
③如果求出的結果不全大于或小于C₂的縱坐標，則說明C₂在△EFC₁內．
（4）先用三點的坐標確定一個拋物線的解析式，然后將剩下的一點代入拋物線中即可判斷出四點是否在同一拋物線上．
解答：解：（1）由題意可知：M點的坐標為（，），
即M（，）；

（2）設過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a（x-0）（x-3），
則有：2=a×（2-0）×（2-3），解得a=-1，
因此過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=-x²+3x，
可求得A₁、B₁、C₁的坐標分別為A₁（，1），B₁（1，1），C₁（，0），
設過這三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，則有：

解得：
即A₁，B₁，C₁三點的拋物線解析式為y=2x²-7x+6；

（3）根據題意有：2x²-7x+6=-x²+3x
即3x²-10x+6=0
解得x=，x=
由于E在F點左側，
因此E（，），F（，）
由題意可知C₂的坐標為（，1）
然后將C₂的坐標代入△EFC₁三邊所在的直線中，可得出C₂在△EFC₁外；

（4）A，A₂，C，C₂四點的坐標分別為：（0，0），（，0）（2，2）（，1），
設過A、A₂、C三點的拋物線的解析式為y=m（x-0）（x-），
則有2=m×（2-0）×（2-），m=，
因此拋物線的解析式為：y=x²-x…①
將C₂點的坐標代入①中可得：×-×=≠1
因此：A，A₂，C，C₂四點不可能在同一條拋物線上．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、中位線定理、三角形重心等知識點，綜合性強．能力要求高．考查學生數形結合的數學思想方法．