Question

如圖，已知直線y=-

3

x+2

3

交x軸于點A，交y軸于點B，過B點的直線y=x+n交x軸于點C．
（1）求C點的坐標；
（2）若將△OBC沿y軸翻折，C點落在x軸上的D點，過D作DE⊥BA垂足為E，過C作CF⊥BA垂足為F，交BO于G，試說明AE與FG的數量關系；
（3）以A點為圓心，以AB為半徑作⊙A交x軸負半軸于點H，交x軸正半軸于點P，BA的延長線交⊙A于M，在

PM

上存在任一點Q，連接MQ并延長交x軸于點N，連接HQ交BM于S，現有兩個結論 ①AN+AS的值不變； ②AN-AS的值不變，其中只有一個正確，請選擇正確的結論進行證明，并求其值．

Answer 1

分析：（1）根據直線交點求出B點坐標，再利用y=x+n求出C點坐標．
（2）先證明△BDE≌△CBF，得出DE=BF，再由△ADE相似于△GBF，得出△ADE≌△GBF，從而知道AE=FG．
（3）連接MP，證明△HAS≌△MPN即可．

解答：解：（1）∵直線y=-

3

x+2

3

交x軸于點A，交y軸于點B
令x=0，得y=2

3

令y=0，得x=2
故A（2，0）、B（0，2

3

）；
又過B點的直線y=x+n交x軸于點C，
將B點坐標代入直線y=x+n，得n=2

3

，
所以BC所在的直線方程為y=x+2

3

，
令y=0，得x=-2

3

，
故C點的坐標為C(-2

3

，0)．

（2）AE=FG
由題意知：BC=BD，∠BFC=∠BED=90°，∠BCF=∠DBE
∴△BDE≌△CBF
∴DE=BF
又∠DFA=∠BFG=90°，∠GBF=∠ADE
∴△ADE≌△GBF
∴AE=FG．

（3）正確的結論②AN-AS=4．
連接MP
∵A（2，0）、B（0，2

3

）
∴∠BAO=60°，圓的半徑為4
所以∠PAM=60°
因此△MAP為等邊三角形．
∵∠PMN=∠AHS，MP=AH，∠HAS=∠MPN=120°
∴△HAS≌△MPN
所以AS=PN
所以AN-AS=AN-PN=AP=4．
即②正確，值不變，為4．

點評：本題主要考查了圓形的性質，全等三角形的判定和性質以及一次函數的綜合應用，關鍵的是對三角形全等的證明．