Question

【題目】綜合與探究．

如圖1，拋物線y＝x2﹣x﹣2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，經過點B的直線交y軸于點E（0，2）．

（1）求A，B，C三點的坐標及直線BE的解析式．

（2）如圖2，過點A作BE的平行線交拋物線于點D，點P是拋物線上位于線段AD下方的一個動點，連接PA，PD，求OAPD面積的最大值．

（3）若（2）中的點P為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點Q，使得以A，D，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）；y＝﹣x+2；(2) 4；(3)存在；點Q的坐標為（2，0）或（﹣4，0）或（，0）或（，0）．

【解析】

（1）令y=0可求A與B點坐標，令x=0可求出C點的坐標；設直線BE的解析式為y=kx+b，將B（4，0）、E（0，2）代入解析式可求k與b的值；
（2）設AD的解析式為y=-x+m，將A（-1，0）代入求出m，進而確定直線AD的解析式，再聯立求出D點坐標，過點P作PF⊥x軸于點F，交AD于點N，過點D作DG⊥x軸于點G．則S△APD=S△APN+S△DPN=2PN，設P，則N，求出PN=-a2+a+，所以S△APD=-a2+2a+3=-（a-1）2+4，當a=1時，△APD的面積最大，最大值為4；

（3）分兩種情況討論：①當PD與AQ為平行四邊形的對邊時，由PD=AQ=3，可求Q（2，0）或Q（-4，0）；②當PD與AQ為平行四邊形的對角線時，先求出P或P，再求出PD的中點為或，由平行四邊形對角線的性質可求Q或Q．

解：（1）令y＝0，則x2﹣x﹣2＝0，解得x＝4或x＝﹣1，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

令x＝0，則y＝﹣2，∴C（0，﹣2），

設直線BE的解析式為y＝kx+b，

將B（4，0）、E（0，2）代入得，，解得：，

∴y＝﹣x+2；

（2）由題意可設AD的解析式為y＝﹣x+m，

將A（﹣1，0）代入，得到m＝﹣，

∴y＝﹣x﹣，

聯立，

解得：，，

∴D（3，﹣2），

過點P作PF⊥x軸于點F，交AD于點N，過點D作DG⊥x軸于點G．

∴S△APD＝S△APN+S△DPN＝PNAF+PNFG＝PN（AF+FG）＝PNAG＝×4PN＝2PN，

設P（a，﹣a2﹣a﹣2），則N（a，﹣a﹣），

∴PN＝﹣a2+a+，

∴S△APD＝﹣a2+2a+3＝﹣（a﹣1）2+4，

∵﹣1＜0，﹣1＜a＜3，

∴當a＝1時，△APD的面積最大，最大值為4；

（3）存在；

①當PD與AQ為平行四邊形的對邊時，

∵AQ∥PD，AQ在x軸上，

∴P（0，﹣2），

∴PD＝3，

∴AQ＝3，

∵A（﹣1，0），

∴Q（2，0）或Q（﹣4，0）；

②當PD與AQ為平行四邊形的對角線時，

PD與AQ的中點在x軸上，

∴P點的縱坐標為2，

∴P（，2）或P（，2），

∴PD的中點為（，0）或（，0），

∵Q點與A點關于PD的中點對稱，

∴Q（，0）或Q（，0）；

綜上所述：點Q的坐標為（2，0）或（﹣4，0）或（，0）或（，0）．