Question

如下圖，在⊙O中，點P在直徑AB上運動，但與A、B兩點不重合，過點P作弦CE⊥AB，在

AB

上任取一點D，直線CD與直線AB交于點F，弦DE交直線AB于點M，連接CM．
（1）如圖1，當點P運動到與O點重合時，求∠FDM的度數．
（2）如圖2、圖3，當點P運動到與O點不重合時，求證：FM•OB=DF•MC．

Answer 1

分析：（1）點P與點O重合時，CE是直徑，由圓周角定理知：∠CDE=90°．即DE⊥CF，由此可得∠FDM=90°．
（2）圖11和圖12的解法大致相同，以圖11為例，先將所求的乘積式化為比例式，然后證線段所在的三角形相似，即證△OMC∽△DMF；由于AB是直徑，由垂徑定理知A是弧CE的中點，由圓周角定理可得∠D=∠COM，而MP垂直平分CE，即可證得∠CMP=∠EMP，所以它們的補角也相等，即∠OMC=∠DMF，由此可證得△OMC∽△DMF，即可得到所求的結論．（要注意的是OC=OB，這步需要用到等量代換）
圖12的證法同上．

解答：（1）解：點P與點O重合時，（如上圖1）
∵CE是直徑，∴∠CDE=90°．（1分）
∵∠CDE+∠FDM=180°，∴∠FDM=90°．（2分）

（2）證明：當點P在OA上運動時（如上圖2）
∵OP⊥CE，∴

AC

=

AE

=

1

2

CE

，CP=EP．
∴CM=EM．∴∠CMP=∠EMP．
∵∠DMO=∠EMP，∴∠CMP=∠DMO．∵∠CMP+∠DMC=∠DMO+∠DMC，
∴∠DMF=∠CMO．（3分）
∵∠D所對的弧是

CE

，∠COM所對的弧是

AC

，
∴∠D=∠COM．（4分）
∴△DFM∽△OCM．∴

DF

OC

=

FM

MC

∴FM•OC=DF•MC．
∵OB=OC，∴FM•OB=DF•MC．（5分）
當點P在OB上運動時，（如右圖）
證法一：連接AC，AE．
∵OP⊥CE，∴

BC

=

BE

=

1

2

CE

，CP=EP．∴CM=EM，∴∠CMO=∠EMO．
∵∠DMF=∠EMO，∴∠DMF=∠CMO．（6分）
∵∠CDE所對的弧是

CAE

，∠CAE所對的弧是

CE

．
∴∠CDE+∠CAE=180°．
∴∠CDM+∠FDM=180°，∴∠FDM=∠CAE．
∵∠CAE所對的弧是

CE

，∠COM所對的弧是

BC

，
∴∠CAE=∠COM．
∴∠FDM=∠COM．（7分）
∴△DFM∽△OCM．∴

DF

OC

=

FM

MC

．
∴FM•OC=DF•MC．
∵OB=OC，∴FM•OB=DF•MC．（8分）
證法二：∵OP⊥CE，
∴

BC

=

BE

=

1

2

CE

，

AC

=

AE

=

1

2

CAE

，CP=EP．
∴CM=EM，∴∠CMO=∠EMO．
∵∠DMF=∠EMO，∴∠DMF=∠CMO．（6分）
∵∠CDE所對的弧是

CAE

，
∴∠CDE=

CAE

度數的一半=

AC

的度數=180°-

BC

的度數．
∴∠FDM=180°-∠CDE=180°-（180°-

BC

的度數）=

BC

的度數．
∵∠COM=

BC

的度數．
∴∠FDM=∠COM．（7分）
∴△DFM∽△OCM．∴

DF

OC

=

FM

MC

．
∴FM•OC=DF•MC．
∵OB=OC，∴FM•OB=DF•MC．（8分）

點評：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質，其中用到的知識點還有：圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關系等知識，綜合性較強．