Question

【題目】已知：如圖所示，拋物線y=-x2+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（1，0），B（3，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點P在該拋物線上滑動，且滿足條件S△PAB=1的點P有幾個？并求出所有點P的坐標；

（3）設拋物線交y軸于點C，問該拋物線對稱軸上是否存在點M，使得△MAC的周長最小？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】【答案（1）拋物線解析式為 ；

（2）滿足條件的點P有三個坐標分別為（2，1），（，﹣1），（，﹣1）；

（3）存在點M（2，﹣1），可使△AMC的周長最小．

【解析】

（1）將A（1，0），B（3，0）代入拋物線中，列方程組可求拋物線解析式；

（2）由于AB=3﹣1=2，而，故△PAB中，AB邊上的高為1，即P點縱坐標為±1，代入拋物線解析式可求P點橫坐標；

（3）過點C作拋物線的對稱軸的對稱點C'，根據拋物線的對稱性求得C′（4，﹣3），連接直線AC′，求直線AC′的解析式，直線AC′與對稱軸的交點即為所求點M

解：（1）依題意有 ，

∴b=4，c=﹣3，

∴拋物線解析式為 ；

（2）如圖，設P（x，y）

∵AB=2，

∴×2×|y|=1

∴y=±1

當y=1時，解得 ，

當y=﹣1時，解得，

∴滿足條件的點P有三個坐標分別為（2，1），（，﹣1），（，﹣1）；

（3）存在．

過點C作拋物線的對稱軸的對稱點C'，如圖

∵點C（0，﹣3），對稱軸為x=2，

∴C′（4，﹣3），

設直線AC′的解析式為y=kx+b，

則，

∴k=﹣1，b=1，

∴直線AC′的解析式為y=﹣x+1，

直線AC′與對稱軸x=2的交點為（2，﹣1），即M（2，﹣1），

∴存在點M（2，﹣1），可使△AMC的周長最小．