Question

（2013•河南）如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸上，點B的坐標為（2，3）．雙曲線y=

k

x

（x＞0）的圖象經過BC的中點D，且與AB交于點E，連接DE．
（1）求k的值及點E的坐標；
（2）若點F是OC邊上一點，且△FBC∽△DEB，求直線FB的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先根據點B的坐標和點D為BC的中點表示出點D的坐標，代入反比例函數的解析式求得k值，然后將點E的橫坐標代入求得E點的縱坐標即可；
（2）根據△FBC∽△DEB，利用相似三角形對應邊的比相等確定點F的坐標后即可求得直線FB的解析式．

解答：解：（1）∵BC∥x軸，點B的坐標為（2，3），
∴BC=2，
∵點D為BC的中點，
∴CD=1，
∴點D的坐標為（1，3），
代入雙曲線y=

k

x

（x＞0）得k=1×3=3；
∵BA∥y軸，
∴點E的橫坐標與點B的橫坐標相等，為2，
∵點E在雙曲線上，
∴y=

3

2

∴點E的坐標為（2，

3

2

）；

（2）∵點E的坐標為（2，

3

2

），B的坐標為（2，3），點D的坐標為（1，3），
∴BD=1，BE=

3

2

，BC=2
∵△FBC∽△DEB，
∴

CF

DB

=

BC

EB

即：

CF

1

=

2

3 2

∴FC=

4

3

∴點F的坐標為（0，

5

3

）
設直線FB的解析式y=kx+b
則

2k+b=3 b= 5 3

解得：k=

2

3

，b=

5

3

∴直線FB的解析式y=

2

3

x+

5

3

點評：本題主要考查了待定系數法求函數解析式，以及矩形的性質，解題時注意點的坐標與線段長的相互轉化．