Question

（2013•濱湖區(qū)一模）Rt△ABC在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖1所示，反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)在第一象限內(nèi)的圖象與BC邊交于點(diǎn)D（4，m），與直線AB：y=

1

2

x+b交于點(diǎn)E（2，n）．
（1）m=

1

2

n

，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為

n+1

；（用含n的代數(shù)式表示）；
（2）若△BDE的面積為2，設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)F，問：在射線FD上，是否存在異于點(diǎn)D的點(diǎn)P，使得以P、B、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）在（2）的條件下，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)M，從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸的正方向，以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），問：是否存在這樣的t，使得在直線AB上，有且只有一點(diǎn)N，滿足∠MNC=45°？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)E（2，n）和點(diǎn)D（4，m）在反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)的圖象上，得出k=2n，k=4m，即可求出m的值；
根據(jù)點(diǎn)E（2，n）在直線y=

1

2

x+b上，得出點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，1+b），b=n-1，再根據(jù)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4，點(diǎn)B在直線y=

1

2

x+b上，得出點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，2+b），縱坐標(biāo)是2+n-1，再進(jìn)行整理即可；
（2）根據(jù)（1）中E（2，n），D（4，

1

2

n），B（4，n+1）和S_△BDE=2，求出n的值，再根據(jù)直線AB的解析式，求出點(diǎn)A、B、D、C和F的坐標(biāo)，從而得出FD∥AC，最后根據(jù)射線FD上，異于點(diǎn)D的點(diǎn)P，使得以P、B、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，只可能為△BFP∽△CAB，得出

FP

AB

=

BF

CA

，求出FP的值，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）以MC為斜邊，作等腰直角△QMC，則以Q為圓心、QM為半徑的⊙Q，與直線AB的公共點(diǎn)N恰好符合∠MNC=45°，則⊙Q恰好與AB相切，得出點(diǎn)Q到AB的距離d=QM=

2

2

MC，再分兩種情況討論①當(dāng)點(diǎn)M在C點(diǎn)左側(cè)時(shí)，S_△QAB+S_△QAC+S_△QBC=S_△ABC，②當(dāng)M在C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，S_△QAB+S_△QAC--S_△QBC=S_△ABC，然后代入計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)E（2，n）和點(diǎn)D（4，m）在反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)的圖象上，
∴k=2n，k=4m，
∴4m=2n，
∴m=

1

2

n，
∵點(diǎn)E（2，n）在直線y=

1

2

x+b上，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，1+b），
∴1+b=n，
∴b=n-1，
∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4，點(diǎn)B在直線y=

1

2

x+b上，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，2+b），
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是2+n-1=n+1；
故答案為：

1

2

n；n+1．  
（2）

∵E（2，n），D（4，

1

2

n），B（4，n+1），
∵△BDE的面積為2，
∴

1

2

×（

1

2

n+1）×2=2，
解得n=2，
∴直線AB的解析式為：y=

1

2

x+1，A（-2，0）、F（0，1）．
∴B（4，3），D（4，1），C（4，0），
∴FD∥AC，
∵在射線FD上，異于點(diǎn)D的點(diǎn)P，使得以P、B、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，只可能為△BFP∽△CAB，
∴

FP

AB

=

BF

CA

，

FP

3 5

=

2 5

6

，
解得FP=5，
從而可得P（5，1）．
（3）以MC為斜邊，作等腰直角△QMC，則以Q為圓心、QM為半徑的⊙Q，與直線AB的公共點(diǎn)N恰好符合∠MNC=45°，
由題意知，在直線AB上，有且只有一點(diǎn)N，滿足∠MNC=45°，
∴⊙Q恰好與AB相切，
∴點(diǎn)Q到AB的距離d=QM=

2

2

MC，
①
當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）時(shí)，則M（2t，0），
當(dāng)點(diǎn)M在C點(diǎn)左側(cè)時(shí)，則MC=4-2t，
由S_△QAB+S_△QAC+S_△QBC=S_△ABC可得：

1

2

×3

5

×

2

2

（4-2t）+

1

2

×6×

4-2t

2

+

1

2

×3×

4-2t

2

=

1

2

×6×3．
解得t=20-6

10

，
②
當(dāng)M在C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，則MC=2t-4，利用S_△QAB+S_△QAC--S_△QBC=S_△ABC，
同理可得t=

2 10 +4

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，要注意分兩種情況進(jìn)行討論，用到的知識(shí)點(diǎn)是圓的有關(guān)性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓周角定理．