【題目】如圖，將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉40°得到△A1BC1，AB與A1C1相交于點D,AC與A1C1、BC1分別交于點E、F.
求證:ΔBCF≌ΔBA1D.
當∠C=40°時,請你證明四邊形A1BCE是菱形.
【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.
【解析】試題分析：（1）根據旋轉的性質，得出A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，再根據ASA即可判定△BCF≌△BA1D；
（2）根據∠C=40°，△ABC是等腰三角形，即可得出∠A=∠C1=∠C=40°，進而得到∠C1=∠CBF，∠A=∠A1BD，由此可判定A1E∥BC，A1B∥CE，進而得到四邊形A1BCE是平行四邊形，最后根據A1B=BC，即可判定四邊形A1BCE是菱形．
（1）∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
∵將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉40度到△A1BC1的位置，
∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，
在△BCF與△BA1D中， 
，
∴△BCF≌△BA1D（ASA）；
（2）∵∠C=40°，△ABC是等腰三角形，
∴∠A=∠C1=∠C=40°，
∴∠C1=∠CBF=40°，∠A=∠A1BD=40°，
∴A1E∥BC，A1B∥CE，
∴四邊形A1BCE是平行四邊形，
∵A1B=BC，
∴四邊形A1BCE是菱形．
階梯計算系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交于點P，弦CE平分∠ACB，交AB于點F，連接BE．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）求證：△PCF是等腰三角形；
（3）若∠BEC=30°，求證：以BC，BE，AC邊的三角形為直角三角形．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖在平行四邊形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F為AD的中點，若∠AEF=54，則∠B=（ ）
A. 54 B. 60 C. 72 D. 66
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，∠ABC=30°，過點B作⊙O的切線BD，與CA的延長線交于點D，與半徑AO的延長線交于點E，過點A作⊙O的切線AF，與直徑BC的延長線交于點F．
（1）求證：△ACF∽△DAE；
（2）若S△AOC=
，求DE的長；
（3）連接EF，求證：EF是⊙O的切線．
【答案】(1) 見解析; (2)3
;(3)見解析.
【解析】試題分析：（1）根據圓周角定理得到∠BAC=90°，根據三角形的內角和得到∠ACB=60°根據切線的性質得到∠OAF=90°，∠DBC=90°，于是得到∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到結論；
（2）根據S△AOC=，得到S△ACF=，通過△ACF∽△DAE，求得S△DAE=
，過A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到AH=
DH=
DE，由三角形的面積公式列方程即可得到結論；
（3）根據全等三角形的性質得到OE=OF，根據等腰三角形的性質得到∠OFG=
（180°﹣∠EOF）=30°，于是得到∠AFO=∠GFO，過O作OG⊥EF于G，根據全等三角形的性質得到OG=OA，即可得到結論．
試題解析：（1）證明：∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC=90°，∵∠ABC=30°，∴∠ACB=60°
∵OA=OC，∴∠AOC=60°，∵AF是⊙O的切線，∴∠OAF=90°，∴∠AFC=30°，∵DE是⊙O的切線，∴∠DBC=90°，∴∠D=∠AFC=30，∵∠DAE=ACF=120°，∴△ACF∽△DAE；
（2）∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°，∴∠CAF=30°，∴∠CAF=∠AFC，∴AC=CF，∴OC=CF，∵S△AOC=，∴S△ACF=，∵∠ABC=∠AFC=30°，∴AB=AF，∵AB=BD，∴AF=BD，∴∠BAE=∠BEA=30°，∴AB=BE=AF，∴
，∵△ACF∽△DAE，∴
=
，∴S△DAE=，過A作AH⊥DE于H，∴AH=DH=DE，∴S△ADE=DEAH=×
=，∴DE=
；
（3）∵∠EOF=∠AOB=120°，∴∠OEB=∠AFO，在△AOF與△BOE中，∵∠OBE=∠OAF，∠OEB=∠AFO，OA=OB，∴△AOF≌△BEO，∴OE=OF，∴∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，∴∠AFO=∠GFO，過O作OG⊥EF于G，∴∠OAF=∠OGF=90°，在△AOF與△OGF中，∵∠OAF=∠OGF，∠AFO=∠GFO，OF=OF，∴△AOF≌△GOF，∴OG=OA，∴EF是⊙O的切線．
【題型】解答題
【結束】
25
【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，四邊形ABCO是矩形，點A，C的坐標分別是A（0，2）和C（2，0），點D是對角線AC上一動點（不與A，C重合），連結BD，作DE⊥DB，交x軸于點E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF．
（1）填空：點B的坐標為 ；
（2）是否存在這樣的點D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，請求出AD的長度；若不存在，請說明理由；
（3）①求證：
；
②設AD=x，矩形BDEF的面積為y，求y關于x的函數關系式（可利用①的結論），并求出y的最小值．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】問題：如何快速計算1+2+3+…+n 的值呢？
（1）探究：令s=1+2+3+…+n①，則s=n+n-1+…+2+1②
①+②得2s=(n+1)(n+1)+…+(n+1)=n
(n+1)
因此
_________________.
(2)應用：
①計算：
________；
②如圖1，一串連續的整數1，2，3，4，…，自上往下排列，最上面一行有一個數，以下各行均比上一行多一個數字，若共有15行數字，則最底下一行最左邊的數是_______；
③如圖2，一串連續的整數-25，-24，-23，…，按圖1方式排列，共有14行數字，求圖2中所有數字的和.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】閱讀理解題
在平面直角坐標系xOy中，點P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距離公式為：d=
，
例如，求點P（1，3）到直線4x+3y﹣3=0的距離．
解：由直線4x+3y﹣3=0知：A=4，B=3，C=﹣3
所以P（1，3）到直線4x+3y﹣3=0的距離為：d=
=2
根據以上材料，解決下列問題：
（1）求點P1（0，0）到直線3x﹣4y﹣5=0的距離．
（2）若點P2（1，0）到直線x+y+C=0的距離為
，求實數C的值．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四邊形ABCD中AB∥CD，對角線AC，BD相交于O，點E，F分別為BD上兩點，且BE=DF，∠AEF=∠CFB.
(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
(2)若AC=2OE，試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm,BC=6cm.某一時刻，動點M從A點出發沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，問：
（1）經過多少時間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的九分之一？
（2）是否存在時刻t，使以A,M,N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．
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