Question

（2011•陜西）如圖①，在矩形ABCD中，將矩形折疊，使B落在邊AD（含端點）上，落點記為E，這時折痕與邊BC或者邊CD（含端點）交于F，然后展開鋪平，則以B、E、F為頂點的三角形△BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”
（1）由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABCD的任意一個“折痕△BEF”是一個　　三角形
（2）如圖②、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，，當它的“折痕△BEF”的頂點E位于AD的中點時，畫出這個“折痕△BEF”，并求出點F的坐標；
（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，該矩形是否存在面積最大的“折痕△BEF”？若存在，說明理由，并求出此時點E的坐標？若不存在，為什么？

Answer 1

解：（1）等腰．
（2）如圖①，連接BE，畫BE的中垂線交BC與點F，連接EF，△BEF是矩形ABCD的一個折痕三角形．
∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，
∴點A在BE的中垂線上，即折痕經過點A．
∴四邊形ABFE為正方形．
∴BF=AB=2，
∴F（2，0）．
（3）矩形ABCD存在面積最大的折痕三角形BEF，其面積為4，
理由如下：①當F在邊BC上時，如圖②所示．
S_△BEF≤S_矩形ABCD，即當F與C重合時，面積最大為4．
②當F在邊CD上時，如圖③所示，
過F作FH∥BC交AB于點H，交BE于K．
∵S_△EKF=KF•AH≤HF•AH=S_矩形AHFD，
S_△BKF=KF•BH≤HF•BH=S_矩形BCFH，
∴S_△BEF≤S_矩形ABCD=4．
即當F為CD中點時，△BEF面積最大為4．
下面求面積最大時，點E的坐標．
①當F與點C重合時，如圖④所示．
由折疊可知CE=CB=4，
在Rt△CDE中，ED===2．
∴AE=4﹣2．
∴E（4﹣2，2）．
②當F在邊DC的中點時，點E與點A重合，如圖⑤所示．
此時E（0，2）．
綜上所述，折痕△BEF的最大面積為4時，點E的坐標為E（0，2）或E（4﹣2，2）．

略